指数
[X^AX^B=X^{A+B} ]
[frac{X^A}{X^B}=X^{A-B} ]
[(X^A)^B=X^{AB} ]
[X^N+X^N=2X^N ]
[2^N+2^N=2^{N+1} ]
对数
- 定义
[X^A=B当且仅当log_XB=A ]
- 定理1
[log_AB=frac{log_CB}{log_CA};A,B,C>0且A eq1 ]证明：
令
[X=log_AB ][Y=log_CA ][Z=log_CB ]由对数定义
[A^X=B ][C^Y=A ][C^Z=B ]由以上三式得
[(C^Y)^X=C^Z ][ herefore XY=Z ]从而定理得证
- 定理2
[logAB=logA+logB ]证明：
令
[X=logAB,Y=logA,Z=logB ]由对数定义得
[2^X=AB,2^Y=A,2^Z=B ][2^Y2^Z=2^X ][ herefore X = Y + Z ]从而定理得证
级数
[sum_{i=0}^N2^i=2^{N+1} -1 ][sum_{i=0}^NA^i=frac{A^{N+1} -1}{A-1} ]