「UR 19」通用评测号&&「集训队作业2018」喂鸽子 && 「AGC038E」Gachapon

「UR 19」通用评测号
考虑一个等价问题：每个燃料舱容量无限，求在所有燃料舱(ge b)的时刻，燃料(ge a)的燃料舱个数的期望。
根据期望的线性性，只需要对每个燃料舱计算在它燃料(=a)的时刻存在其他燃料舱(<b)的概率
每个燃料舱等价　计算第一个燃料舱概率乘n即可
容斥原理　强制令(p)个小于(b) 容斥系数为((-1)^{p-1} imes inom{n-1}{p})
相当于每次选一个([1,p+1])之间的数 当出现(a)个一时 其他数均小于(b)的概率
做法一：

[ans=sum_{x_2,x_3,cdots,x_{p+1}in [0,b-1]}frac{(a-1+sum x_i)!}{(a-1)!prod(x_i!)}left(frac{1}{p+1} ight)^{a+sum x_i} ]

[=sum_{i=0}^{p(b-1)}frac{(a-1+i)!}{(a-1)!}left(frac{1}{p+1} ight)^{a+i}[x^i]left(sum_{j=0}^{b-1}frac{x^j}{j!} ight)^p ]

复杂度(O(n^3log n))
做法二:

[ans=sum_{j=0}^{p(b-1)}g_{p,j} imesinom{j+a-1}{j} imesleft(frac{1}{p+1} ight)^{j+a} ]

其中(g_{p,j})表示(p)个数总共出现(j)次且每个数出现不超过(b)次的方案数
(g)转移是总的去掉不合法的情况

[g_{i,j}=g_{i,j-1} imes i-i imesinom{j-1}{b-1} imes g_{i-1,j-b} ]

复杂度(O(n^3))

「集训队作业2018」喂鸽子
使用min_max容斥

[ans=sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}inom{n}{i}dfrac{n}{i}F(i) ]

(F(i))表示有鸽子吃饱的期望次数 乘(frac{n}{i})是期望(frac{n}{i})步喂食到指定集合的鸽子
和上题类似

[F(i)=sum_{j=0}^{(i-1)(k-1)}(j+k)g_{i-1,j} imes ileft(frac{1}{i} ight)^{j+k}inom{j+k-1}{j} ]

代码十分短结果犯了两个非常可笑的错误 最后输出应该是(ans+mod)%mod因为我写的代码中间允许是负数 乘法记得要取模
我又开小数组了
这都什么错误啊 看来我适合抱灵 我怎么不去入门组

「AGC038E」Gachapon
又是一个比较类似的东西 但是这次概率不相同……
考虑min-max容斥
然后要对每一种所有物品出现小于(b_i)次的状态计算其出现的概率（包括初始时刻，这样就没有必要答案(+1)了）
设这种状态中(i)出现了(x_i in [0,b_i -1])次
令(X=sum x_i) (C=sum A_i) 概率是(X!prod_ileft(frac{A_i}{C} ight)^{x_i}frac{1}{x_i!})
dp时要考虑当前点是否要加入到容斥的集合当中去 如果加入的话枚举(x_i)并要乘上(-1) 要记录(X,C) 类似生成函数那样转移
时间复杂度(O((sum B_i)^2sum A_i))

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fp(i,l,r) for(register int (i)=(l);(i)<=(r);++(i))
#define fd(i,l,r) for(register int (i)=(l);(i)>=(r);--(i))
#define fe(i,u) for(register int (i)=front[(u)];(i);(i)=e[(i)].next)
#define O(x) cerr<<#x<<':'<<x<<endl
#define mem(a) memset((a),0,sizeof (a))
#define int long long
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}
void wr(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>=10)wr(x/10);
	putchar('0'+x%10);
}
const int mod=998244353;
inline void rmod(int &x){x+=x>>31&mod;} 
inline void tmod(int &x){x%=mod;}
inline int qpow(int a,int b){
	int res=1;
	for(;b;b>>=1,tmod(a*=a))
	if(b&1)tmod(res*=a);
	return res;
}
inline int inv(int x){return qpow(x,mod-2);}
int g[405][405],tmp[405][405],n,a[405],b[405],fac[405],ifac[405];
main(){
	n=read();
	fp(i,1,n)a[i]=read(),b[i]=read()-1;
	g[0][0]=mod-1;
	fac[0]=1;fp(i,1,404)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	ifac[404]=inv(fac[404]);fd(i,403,0)ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
	int sa=0,sb=0;
	fp(i,1,n){
		fp(j,0,sa)fp(k,0,sb){
			int t=1;
			fp(l,0,b[i])
			tmod(tmp[j+a[i]][k+l]+=t*ifac[l]%mod*g[j][k]),t=t*a[i]%mod;
		} 
		sa+=a[i];sb+=b[i];
		fp(j,0,sa)fp(k,0,sb)
		rmod(g[j][k]-=tmp[j][k]),tmp[j][k]=0;
	}
	int ans=0;
	fp(i,1,sa){
		int t=inv(i),p=t*sa%mod;
		fp(j,0,sb)
		tmod(ans+=fac[j]*p%mod*g[i][j]),p=p*t%mod;
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}