从微积分到上同调

$ ewcommandIm{operatorname{Im}}$

$ ewcommandKer{operatorname{Ker}}$

$ ewcommandgrad{operatorname{grad}}$

$ ewcommanddiv{operatorname{div}}$

$ ewcommand ot{operatorname{rot}}$

$ ewcommandR{mathbb{R}}$

本文主要来自于 Ib H. Madsen,Jxrgen Tornehave《从微积分到上同调》

故事要从牛顿-莱布尼兹公式说起。

(微积分基本定理)若$f(x)$是定义在开区间$(a,b)$上的连续函数$Rightarrow$存在$F$,使得$F'=f$.

这个定理是现代微积分的基石。但是由于这个定理只描述了一元函数的情况，人们自然想“是否能把它推广到二元函数”？比如说，给定了一个函数$f=(f_1,f_2):U o mathbb{R}^2$,为定义在$mathbb{R}^2$上开集$U$的光滑函数，那是否存在$F:U omathbb{R}$,使得$ abla F=f$?

也就是说，是否$exists F$,使得[frac{partial f_1}{partial x_2}=frac{partial}{partial x_2}left(frac{partial F}{partial x_1} ight)=frac{partial}{partial x_1}left(frac{partial F}{partial x_2} ight)=frac{partial f_2}{partial x_1}]

(PS:这也给出了一个$F$存在的必要条件，也就是需要$frac{partial f_1}{partial x_2}=frac{partial f_2}{partial x_1}$)

但是满足了必要条件却不一定存在这样的$F$,书中就给出了这样一个经典的例子：

例子1 $U=mathbb{R}^2ackslash {0},f:U omathbb{R}^2, (x_1,x_2)mapsto (frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2},frac{x_1}{x_1^2+x_2^2})$

 我们认为，不存在$F:U omathbb{R}^2$,使得$frac{partial F}{partial x_1}=f_1,frac{partial  F}{partial  x_2}=f_2$. 否则的话就有

[frac{d}{d heta}F(cos{ heta},sin{ heta})=frac{partial F}{partial x_1}(cos{ heta},sin{ heta})(-sin{ heta})+frac{partial F}{partial x_2}(cos{ heta},sin{ heta})(cos{ heta})=1]

但是另外又有[int_{0}^{2pi}frac{d}{d heta}F(cos{ heta},sin{ heta})d heta=F(cos{ heta},sin{ heta})|_{0}^{2pi}=0]

矛盾！

 例子2 $U={(x_1,x_2)inmathbb{R}^2|x_1^2+x_2^2<1}$为开集,则$f:U omathbb{R}^2,(x_1,x_2)mapsto (x_1^2+x_2,x_1)$有“原函数” $F(x_1,x_2)=frac{1}{3}x^3+x_1x_2$

为什么这个函数存在所谓的“原函数”呢？其实这和区域的性质有关，实际上，定义在这个单位圆盘上满足必要条件的函数都有“原函数”。更推广地我们可以刻画这个区域，也即“星形区域”(Star-shaped).

定义 $Uinmathbb{R}^2$为开集，$U$被称为关于$x_0$的星形区域，如果对于$forall xin U$,线段$overline{x_0 x}subset U$.

 

如图就是一个星形区域。而例1中的区域并非星形的，因为任意$x_0$，它关于原点的对称点不能连线段在区域内。

 星形区域有什么好的性质呢？正如前面所说，在这个区域内，就有$frac{partial f_1}{partial x_2}=frac{partial f_2}{partial x_1}$与存在原函数$F$等价！具体定理叙述如下：

 定理1 $Uinmathbb{R}^2$是开的星形区域，且$f:U omathbb{R}^2$光滑(实际上只要可导似乎就行了)，$f=(f_1,f_2)$.且$frac{partial f_1}{partial x_2}=frac{partial f_2}{partial x_1}$,那么$exists F:U omathbb{R}$ 光滑，且有$frac{partial F}{partial x_1}=f_1,frac{partial F}{partial x_2}=f_2$.

WLOG，我们可设$U$关于$x_0=0in mathbb{R}^2$是星形的。令

[F(x_1,x_2)=int_{0}^{1}(x_1 f_1(tx_1,tx_2)+x_2 f_2(tx_1,tx_2))dt]

那么计算$frac{partial}{partial x_1}F(x_1,x_2)$,可以得到

[egin{align*}frac{partial}{partial x_1}F(x_1,x_2)&=int_0^1 [f_1(tx_1,tx_2)+tx_1frac{partial f_1}{partial x_1}(tx_1,tx_2)+tx_2frac{partial f_2}{partial x_1}(tx_1,tx_2)]dt\ &= int_{0}^1frac{d}{dt}(tf(tx_1,tx_2))=f_1(x_1,x_2)end{align*}]

同理亦可得另一边的等式。$square$

为什么星形区域有两者等价，而去掉一点的区域却不行呢？我们再用场论的符号来叙述下以上的事实。

$Uinmathbb{R}^2$,我们要研究的是$C^{infty}(U,mathbb{R}^k)={mbox{smooth function on }U}$,这个可看成一个线性空间。

我们定义符号$grad:C^{infty}(U,mathbb{R}) o C^{infty}(U,mathbb{R}^2)$,使得$grad(f)=(frac{partial f_1}{partial x_1},frac{partial f_2}{partial x_2})$

以及$ ot:C^{infty}(U,mathbb{R}^2) o C^{infty}(U,mathbb{R})$,使得$ ot((f_1,f_2))=frac{partial f_1}{partial x_2}-frac{partial f_2}{partial x_1}$

则我们可以给出如下的链：

$$ equire{AMScd}
egin{CD}
C^{infty}(U,mathbb{R}) @>{grad}>> C^{infty}(U,mathbb{R}^2) @>{ ot}>> C^{infty}(U,mathbb{R})
end{CD}$$

有两条性质

1. $ otcircgrad = 0$(由于导数可交换)
2. $Im(grad)inKer( ot)$（由1立刻得到）

为了刻画这两者之间的包涵关系，我们定义

$$H^1(U):=frac{Ker( ot)}{Im(grad)}={alpha+Im(grad)}$$

这样一个商群就是所谓的第一上同调群，代表元$[alpha]=[eta]Leftrightarrow alpha-etainIm(grad)$，值得一提的是$H^1(U)$通常是有限维的。

前面的定理1让我们知道，对于开星形区域$U$,就有$Ker( ot)inIm(grad)$,从而$H^1(U)$中只有$0$元（这也是定理1的重述）。而从例子1我们知道，对于$U=mathbb{R}^2ackslash{(0,0)}$,$H^1(U) ot = 0$.

同样我们可以定义第0上同调群，也就是$H^0(U)=Ker(grad)$

我们同样可以计算某些区域的第0上同调群，定理如下：

定理2 $U$为$mathbb{R}^2$中连通开集，那么有$H^0(U)=mathbb{R}$

这个证明也很显然，因为$f$总在一个局部为常数，而且集合连通，使$f$为常数的区域既开又闭，从而在整个区域上都为常数。

考虑完二维的情况，我们同样可以考虑三维的情况，这时候有这样一个链

$$egin{CD}
C^{infty}(U,mathbb{R}) @>{grad}>> C^{infty}(U,mathbb{R}^3) @>{ ot}>> C^{infty}(U,mathbb{R}^3)@>{div}>> C^{infty}(U,mathbb{R})
end{CD}$$

这三个东西的定义经过计算同样有 $ otcircgrad=0,divcirc ot=0$

所以类似地我们定义几个上同调群，即

$$H^0(U)=Ker(grad),H^1(U)=frac{Ker( ot)}{Im(grad)},H^2(U)=frac{Ker(div)}{Im( ot)}$$

(读到这想必也发现了，同调与上同调无非就是两个算子$partial_1circpartial_2=0$定义出的群$Ker(partial_1)/Im(partial_2)$而已，没什么高深的知识，不过在拓扑中却非常有用)

 定理3 在$mathbb{R}^3$中的开星形区域$U$，有$H^0(U)=mathbb{R},H^1(U)=0,H^2(U)=0$

前两个同调用前面的方法即可，我们需要算的是$H^2(U)=0$,只需要对于$forall FinKer(div)$，找到$G$使得$ ot(G)=F$。而显然

[G(vec{x})=int_0^1(F(tvec{x}) imes(tvec{x}))dt]

满足条件。

同样我们也举出例子，让$H^1(U) ot = 0$.

例3 $S={(x_1,x_2,x_3)inmathbb{R}^3,x_1^2+x_2^2=1,x_3=0}$,而区域$U=mathbb{R}^3ackslash S$,则令$$f(x_1,x_2,x_3)=left(frac{-x_1x_3}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2},frac{-x_2x_3}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2},frac{x_1^2+x_2^2-1}{x_3^2+(x_1^2+x_2^2-1)^2} ight)$$

我们声称$ ot(f)=0$,即$[f]in H^1(U)$但是$H^1(U) ot = 0$,否则若$exists Fin C^{infty}(U,mathbb{R})$，使得$grad{F}=f$

那么考虑曲线$gamma(t)=(sqrt{1+cos{t}},0,sin{t}),-pile tle pi$,则有$frac{d}{dt}F(gamma(t))=1,int_{-pi}^{pi}frac{d}{dt}F(gamma(t))dt=0$.

从上我们可以大致有这样一点想法：如果$H^1(U) ot = 0$,那就有个$1$维的“洞”，那么是不是$H^2(U) ot =0$就表明有$2$为的洞了呢？这个博主还不是很明白，需要继续学习，来补充这篇文章。