|LIS| = 3（最长上升子序列，DP）

题意

求满足下列条件的序列个数：

• 长度为\(n\)
• 序列的每个元素值都在\([1,m]\)
• 最长严格上升子序列的长度恰好为\(3\)

数据范围

\(3 \leq n \leq 1000\)
\(3 \leq m \leq 10\)

思路

首先回顾一下最长上升子序列的做法：

• 维护一个vector，记为\(L\)
• 对于每个元素\(A_i\)，找到满足\(L_j \geq A_i\)的最小元素的下标（二分）。如果存在的话，用\(A_i\)替换\(L_j\)。否则，将\(A_i\)添加到\(L\)的后面。
• 最终\(L\)的长度。

因为我们只关心长度小于等于\(3\)的最长上升子序列。因此考虑\(f_{i, a, b, c}\)，前\(i\)项的序列中长度为\(1\)，\(2\)，\(3\)的最长上升子序列中结尾的最小值为\(a\)，\(b\)，\(c\)的数量。
转移的过程中，枚举第\(i\)个元素的数值，记为\(x\)。若\(1 \leq x \leq a\)，那么\(x\)可以替换\(a\)，则\(f_{i, x, b, c} = f_{i, x, b, c} + f_{i - 1, a, b, c}\)；若\(a + 1 \leq x \leq b\)，那么\(x\)可以替换\(b\)，则\(f_{i, a, x, c} = f_{i, a, x, c} + f_{i - 1, a, b, c}\)；若\(b + 1 \leq x \leq c\)，那么\(x\)可以替换\(c\)，则\(f_{i, a, b, x} = f_{i, a, b, x} + f_{i - 1, a, b, c}\)。

这里需要注意一点，就是若\(a = m + 1\)，表示长度为\(1\)的最长上升子序列不存在。\(b, c = m + 1\)同理。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int mod = 998244353, N = 1010, M = 15;

int n, m;
ll f[N][M][M][M];

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    f[0][m + 1][m + 1][m + 1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        for(int a = 1; a <= m + 1; a ++) {
            for(int b = 1; b <= m + 1; b ++) {
                for(int c = 1; c <= m + 1; c ++) {
                    for(int x = 1; x <= a && x <= m; x ++) {
                        f[i][x][b][c] = (f[i][x][b][c] + f[i - 1][a][b][c]) % mod;
                    }
                    for(int x = a + 1; x <= b && x <= m; x ++) {
                        f[i][a][x][c] = (f[i][a][x][c] + f[i - 1][a][b][c]) % mod;
                    }
                    for(int x = b + 1; x <= c && x <= m; x ++) {
                        f[i][a][b][x] = (f[i][a][b][x] + f[i - 1][a][b][c]) % mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i ++) {
        for(int j = 1; j <= m; j ++) {
            for(int k = 1; k <= m; k ++) {
                ans = (ans + f[n][i][j][k]) % mod;
            }
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}