第十讲.无关性、基与维数

无关性、基与维数

定义：设(V)是一个向量空间，(v_1, dots, v_n in V)，({v_1, dots, v_n})是线性无关的(Longleftrightarrow)若(a_1v_1 + dots + a_nv_n = 0)，其中(a_i in mathbb{R})，则(a_1 = dots = a_n = 0)

({v_1, dots, v_n})是(V)的一个基（basis）(Longleftrightarrow)（1）(v_1, dots, v_n)线性无关；（2）(forall alpha in V)，(alpha)是(v_1, dots, v_n)的线性组合。

我们说(V)的维数（dimension）是(n=)基中向量个数。记作(dim V = n)

矩阵空间

定义一种新的向量空间(M)（矩阵空间）：所有的(3 imes 3)矩阵！(dim M = 9)，基为：

[egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} \ egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} \ egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 1 & 0 & 0 end{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 end{pmatrix}, egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} ]

子空间有：上三角矩阵、对称阵、对角矩阵。对角矩阵所构成的子空间，维度是(3)。可以找一组基：

[egin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} , egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} , egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix} ]

相关性、基与维数的性质

定理 ：若(V)是有限维的，则(V)的任意两个基所含向量的个数相等。

证明：由定义3，因为(V)是有限维，故存在一个基是有限的，不妨记为({alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n})，另一个基记为(S)。反证法，(S)所含向量个数(>n)，则(S)中可取(n + 1)个向量(eta_1,eta_2,dots ,eta_{n+1})。由基的定义，则(eta_1,eta_2,dots ,eta_{n+1})可由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性表出。由于(R(S) < n + 1)，故(eta_1,eta_2,dots ,eta_{n+1})线性相关。因为基要求线性无关，即任一个有限子集都线性无关，矛盾，故(S)所含向量个数(leq n)。再设(S = {eta_1,eta_2,dots ,eta_m})，其中(m leq n)，因为基互相能够线性表出，因此两个基等价，所以(m = n)

定理：(mathbb{R}^n)中任意(n + 1)个向量线性相关

证明：不妨设(alpha_1, dots, alpha_{n + 1})为(mathbb{R}^n)中(n + 1)个线性无关列向量，它可以拓展成一组基，与前面定理矛盾！