矩阵与向量的乘积
二元一次方程：
[egin{cases}
2x - y = 0 \
-x + 2y = 3
end{cases}
]
写成矩阵乘法形式：
[egin{pmatrix}
2 & -1 \
-1 & 2 \
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
x \
y \
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
0 \
-3 \
end{pmatrix}
]
一般形式为：(Ax = b)
可以表示为线性组合的形式：
[x
egin{pmatrix}
2 \
-1
end{pmatrix}
+ y
egin{pmatrix}
-1 \
2
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
0 \
-3
end{pmatrix}
]
也可以表示为点乘的形式：
[egin{cases}
(2, -1) cdot (x, y) = 0 \
(-1, 2) cdot (x, y) = 3
end{cases}
]
可逆矩阵
注：本节涉及到的矩阵都是方阵
方程(Ax = b)，对任意向量(b)有唯一解，则(A)是可逆的。记(A)的逆为(A^{-1})，有(AA^{-1} = A^{-1}A = I)
设：
[u =
egin{pmatrix}
u_1 \
u_2 \
u_3
end{pmatrix},
v =
egin{pmatrix}
v_1 \
v_2 \
v_3
end{pmatrix},
w =
egin{pmatrix}
w_1 \
w_2 \
w_3
end{pmatrix}
]
若(A = (u, v, w))可逆，则(u, v, w)的全部线性组合是整个(3)维空间。此时(0)写成(u, v, w)的线性组合只有一种可能：(0 = 0u + 0v + 0w)。这时我们称向量(u, v, w)线性无关。相应(Ax = 0)只有零解。
若(0)可以写成(u, v, w)的多种线性组合，那么称矩阵(A = (u, v, w))是奇异的。向量(u, v, w)是线性无关的。
线性方程组的行图和列图
行图
列图
总结
一般地，设(A = (v_1, dots, v_n))为(n imes n)矩阵，(x = (x_1, dots, x_n)^T)，(b = (b_1, dots, b_n)^T)。方程组(Ax = b)的每行表示一条直线((n = 2))，或一张平面((n = 3))，或一张超平面((n > 3))。
解方程组(Leftrightarrow)考察这些直线或平面或超平面是否有交点(Leftrightarrow)求(x_1, dots, x_n)满足(x_1v_1 + dots + x_nv_n= b)
方程组对任意(b)有唯一解(Leftrightarrow)(A)可逆，此时(x = A^{-1}b)（(x)可表示为(A^{-1})的列向量的线性组合）