对矩阵(A)，有(E_{21}A = U)：
[egin{pmatrix}
1 & 0 \
-4 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
2 & 1 \
8 & 7
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
2 & 1 \
0 & 3
end{pmatrix}
]
现在要转换成(A = LU)的形式，这里的(L)即为(E_{21}^{-1})。
[egin{pmatrix}
2 & 1 \
8 & 7
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
1 & 0 \
4 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
2 & 1 \
0 & 3
end{pmatrix}
]
这种分解形式相当于将一个矩阵分解为一个对角线全为(1)的下三角矩阵与一个对角线为主元的上三角矩阵的乘积。
另外一种分解方式是(A = LDU)，其中(D)是一个对角线为主元的对角矩阵（diagonal），如：
[egin{pmatrix}
2 & 1 \
8 & 7
end{pmatrix}
=
egin{pmatrix}
1 & 0 \
4 & 1
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
2 & 0 \
0 & 3
end{pmatrix}
egin{pmatrix}
1 & frac{1}{2} \
0 & 1
end{pmatrix}
]
一般情况下，在没有行交换的情况下，所有的乘数都直接进入到(L)当中了。
将(n)阶矩阵(A)通过初等行变换，变为(U)，总共大概需要(n^2 +(n - 1)^2 + dots ,1^2 approx frac{1}{3}n^3)次操作
(LU)分解一个比较重要的意义在于加速（多个）线性方程组的求解。
首先将(A)分解为(LU)的形式，然后再计算(LUx = b)。
计算(LUx = b)，可以分为两步，即：(Ly = b, Ux = y)。这两个线性方程组的求解都是(O(n^2))的。
置换矩阵(P)，(P^{-1} = p^T)，(n)阶置换总共有(n!)种可能性。