设(V)是数域(K)上的线性空间
定义 1：(V)的一个有限子集({alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s})线性相关（无关）
(:Leftrightarrow)向量组(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)线性相关（无关）
(V)的一个无限子集(S)线性相关(:Leftrightarrow)(S)有一个有限子集线性相关。反之，(V)的一个无限子集(S)线性无关(:Leftrightarrow)(S)任一个有限子集线性无关。
定义 2：设(V)是数域(K)上的线性空间
(V)的一个子集(S)如果满足下述两个条件：（(S)不一定是线性空间）
（1）(S)是线性无关的。
（2）(V)中任一向量可以由(S)中的有限多个向量线性表出。
则称(S)是(V)的一个基。
若(S)是有限集(S = {alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s})，则向量组(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)是(V)的一个（有序）基。
规定空集(emptyset)是线性无关的，因此只含零向量的线性空间，它的一个基是(emptyset)。
定理 1：任何一个数域上的任一个线性空间都有一个基。
定义 3：
若(V)有一个基是有限子集，则称(V)是有限维的。
若(V)有一个基是无限子集，则称(V)是无限维的。
定理 2：若(V)是有限维的，则(V)的任意两个基所含向量的个数相等。
证明：由定义3，因为(V)是有限维，故存在一个基是有限的，不妨记为({alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n})，另一个基记为(S)。
反证法，(S)所含向量个数(>n)，则(S)中可取(n + 1)个向量(eta_1,eta_2,dots ,eta_{n+1})。由基的定义，则(eta_1,eta_2,dots ,eta_{n+1})可由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性表出。又(n+1 > n)，故(eta_1,eta_2,dots ,eta_{n+1})线性相关。因为基要求线性无关，即任一个有限子集都线性无关，矛盾，故(S)所含向量个数(leq n)。
再设(S = {eta_1,eta_2,dots ,eta_m})，其中(m leq n)，因为基互相能够线性表出，因此两个基等价，所以(m = n)
推论 1：若(V)是无限维的，则(V)的任何一个基都是无限维的。
定义 4：
设(V)是有限维的，则把(V)的一个基所含向量的个数称为线性空间(V)的维数，记作(dim_K V)或(dim V)。
若(V)是无限维的，则把(V)的维数记作(dim V = infty)
({mathbf{0}})的维数为(0)
命题 1：
若(dim V = n)，则(V)中任意(n+1)个向量都线性相关（根据定理2的证明个数即可得到）。
设(dim V = n)，取(V)中的一个基(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)，则(V)中任一向量(alpha = a_1alpha_1 + a_2alpha_2 + dots + a_nalpha_n)，且表出方式唯一（3.2节命题1或用反证法可证）。将((a_1, a_2, dots ,a_n)^T)称为(alpha)在基(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)下的坐标。
例：(K^n)中，向量组(epsilon_1 = (1,0,dots ,0)^T)，(epsilon_2 = (0,1,dots ,0)^T)，(dots)，(epsilon_n = (0,0,dots ,n)^T)是线性无关的。(K^n)中任一个向量(alpha = a_1epsilon_1 + a_2epsilon_2 + dots + a_nepsilon_n)。因此(epsilon_1, epsilon_2, dots ,epsilon_n)是(K^n)中的一个基，称为标准基。(alpha)的坐标是系数组成的列向量。
命题 2：设(dim V = n)，则(V)中任意(n)个线性无关的向量都是(V)的一个基。
证明：设(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性无关，任取(eta in V)，根据命题1，任意(n+1)个向量线性相关，即(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n,eta)线性相关，又(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性无关。由3.2节命题2，(eta)可由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性表出。因此(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)是一个基。
命题 3：设(dim V = n)，若(V)中每个向量可由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性表出，则(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)是一个基。
证明：取(V)的一个基(delta_1, delta_2,dots ,delta_n)。由条件，(delta_1, delta_2,dots ,delta_n)可由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性表出。故(rank{delta_1, delta_2,dots ,delta_n} leq rank{alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n} leq n)。又(delta_1, delta_2,dots ,delta_n)是线性无关的，故其秩为(n)。所以，(rank{alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n} = n)，从而(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性无关。从而，(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)是(V)的一个基。
命题 4：设(dim V = n)，则(V)中任意一个线性无关的向量组可以扩充成(V)的一个基。
证明：设(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)线性无关
若(s = n)，则(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)就是(V)的一个基。
若(s < n)，则(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)不是(V)的一个基，故(V)中有向量(eta_1)不能由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)线性表出。故向量组(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s,eta_1)线性无关。
若(s + 1 < n)，依次下去，得到(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s,eta_1,eta_2,dots ,eta_r)线性无关，是(V)的一个基。
命题 5：设(dim V = n)，(W)是(V)的一个子空间，则(dim W leq dim V)
证明：(W)中的一个基(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_m)可以扩充成(V)的一个基(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_m,alpha_{m+1},dots ,alpha_n)，故(dim W leq dim V)。
推论：若(dim W = dim V = n)，则(W = V)
证明：(W)中的一个基(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)也是(V)的一个基，故(V)中的任一向量(eta)可由(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)线性表出，又(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_n)均属于(W)，则(eta = a_1alpha_1 + a_2alpha_2 + dots + a_nalpha_n in W)，即(V subset W)。又(W)是(V)的子集，故(W = V)。
定义 5：设(V)是数域(K)上的线性空间
(V)的一个子集(S)如果满足：
（1）(S)是线性无关的。
（2）对于(eta
otin S)（若存在的话），有(S cup {eta })
那么(S)是(V)的一个极大线性无关集。
若(S)是(V)的一个基(Rightarrow)(S)是(V)的一个极大线性无关集。
当(V
eq {mathbf{0}})时，(S)是(V)的一个极大线性无关集。
对(V = {mathbf{0}})，(emptyset)满足定义5的条件1，(emptyset cup {mathbf{0}} = {mathbf{0}})线性相关，故(emptyset)是({mathbf{0}})的一个极大线性无关集，所以规定({mathbf{0}})的基为(emptyset)
命题 6：(<alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s> = {k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s|k_1,k_2,dots ,k_s in K})。(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)又可以由其极大线性无关组线性表出，故(<alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s>)可由极大线性无关组线性表出，则(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s)的一个极大线性无关组是(<alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s>)的一个基，从而(dim <alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s> = rank{alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s})。
命题 7：若(<alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s> = <eta_1,eta_2,dots ,eta_s> Leftrightarrow {alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s} cong {eta_1,eta_2,dots ,eta_s})
例：设(r < n)，在(K^n)中，令(U = {(a_1, a_2, dots ,a_r, 0, dots ,0)'|a_i in K, i = 1, 2, dots ,r})。求子空间(U)的一个基和维数。
解：(U)中任一向量(alpha = (a_1, a_2, dots ,a_r, 0, dots ,0)')可以表示为(alpha = a_1epsilon_1 + a_2epsilon_2 + dots + a_repsilon_r)。其中，(epsilon_1 = (1, 0, 0, dots ,0, 0, dots ,0)')，(epsilon_2 = (0, 1, 0, dots ,0, 0, dots ,0)')，(dots)，(epsilon_r = (0, 0, 0, dots ,1, 0, dots ,0)')。
由于(epsilon_1,epsilon_2,dots ,epsilon_n)线性无关，因此其部分组(epsilon_1,epsilon_2,dots ,epsilon_r)也线性无关，从而(epsilon_1,epsilon_2,dots ,epsilon_r)是(U)的一个基，故(dim U = r)。