定义 1：
设(V)是数域(K)上的线性空间，(V)中的一个向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s(s geq 1))，如果(K)中不全为(0)的数(k_1, k_2, dots, k_s)使得(k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s = 0)，即向量组线性相关。否则称向量组线性无关（即只有(k_1 = k_2 = dots = k_s = 0)，才能满足(k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s = 0)）。
考虑齐次线性方程组：
（1）(K^s)中，列向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_n)线性相关
(Leftrightarrow)(K)中不全为(0)的(c_1,c_2,dots ,c_n)使得(c_1alpha_1 + c_2alpha_2 + dots + c_nalpha_n = 0)
(Leftrightarrow)(K)上的(n)元齐次线性方程组有非零解
从而，若列向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_n)线性无关
(Leftrightarrow)(x_1alpha_1 + x_2alpha_2 + dots + x_nalpha_n = 0)只有零解。
（2）(K^n)中，列向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_n)线性相关（无关）
(Leftrightarrow)以列向量组为矩阵的行列式等于(0)（不为(0)）
设(V)是数域(K)上的一个线性空间，(V)的性质：
（1）(alpha)（单个向量的向量组）线性相关
(Leftrightarrow)有(kalpha = 0,k
eq 0)
(Leftrightarrow)(alpha = 0)
从而(alpha)线性无关(Leftrightarrow)(alpha
eq 0)
（2）对于向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)如果有一个部分组线性相关
(Leftrightarrow)原向量组线性相关
从而，逆否命题，如果向量组线性无关(Leftrightarrow)任何一个部分组都线性无关。
（3）那么自然，含有零向量的向量组都线性相关
（4）向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性相关((s geq 2))
(Leftrightarrow)至少有一个向量，可以由其余向量线性表出。
证明：
必要性：由定义，(K)中不全为(0)的数，
(k_1, k_2, dots, k_s)使得(k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s = 0)
不妨设(k_i
eq 0)，那么(alpha_i = -frac{k_1}{k_i}alpha_1 - dots - frac{k_{i-1}}{k_i}alpha_{i-1} - frac{k_1}{k_{i+1}}alpha_{i+1}- dots -frac{k_s}{k_i}alpha_s)
充分性：设(alpha_j = l_1alpha_1 + dots + l_{j-1}alpha_{j-1} + l_{j+1}alpha_{j+1} + dots + l_salpha_s)
那么(l_1alpha_1 + dots + l_{j-1}alpha_{j-1} - alpha_j + l_{j+1}alpha_{j+1} + dots + l_salpha_s = 0)
故，(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性相关
从而，向量组(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关(Leftrightarrow)任何一个向量都与其他向量线性无关。
命题 1：
设(eta)可以由(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性表出，且表出方式唯一(Leftrightarrow)(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关
证明：
充分性：设(eta = a_1alpha_1 + dots + a_salpha_s)，
再令(eta = b_1alpha_1 + dots + b_salpha_s)
两式相减，(0 = (a_1 - b_1)alpha_1 + dots + (a_s - b_s)alpha_s)
由于(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关，
故，(a_i - b_i = 0, i = 1, 2, dots ,s)，即表出方式唯一
必要性：反证法，假设(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性相关
(Leftrightarrow)(K)中不全为(0)的数(k_1, k_2, dots, k_s)使得(0=k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s)
令(eta = a_1alpha_1 + dots + a_salpha_s)，两式相加
(eta = (a_1 + k_1)alpha_1 + dots + (a_s + k_s)alpha_s)
由于(k_1, k_2, dots, k_s)不全为(0)，故
((a_1, a_2, dots ,a_s)
eq (k_1 + a_1, k_2 + a_2, dots ,k_s+a_s))
则与表出唯一矛盾，故(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关。
命题 2：
设(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关
如果(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s, eta)线性相关(Leftrightarrow)(eta)可以由(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性表出
证明：(K)中不全为(0)的数(k_1, k_2, dots, k_s, l)使得(k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s + l dot eta = 0)
若(l = 0)，则(k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s = 0)
其中(k_1, k_2, dots, k_s)不全为(0)(Rightarrow)(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性无关
与条件矛盾，故(l
eq 0)，则(eta = -frac{k_1}{l}alpha_1 -frac{k_2}{l}alpha_2 - dots - -frac{k_s}{l}alpha_s)，则(eta)可以由(alpha_1, alpha_2, dots ,alpha_s)线性表出。
充分性由线性空间性质4可推。