3.1 n维向量空间及其子空间

取定一个数域(K)，设(n)是任意给定的一个正整数。

[K^n = {(a_1,a_2,dots ,a_n)|a_i in K, i = 1, 2, dots ,n} ]

称为(n)维向量。若(a_1 = b_1, a_2 = b_2, dots , a_n = b_n)，则((a_1,a_2,dots ,a_n) = (b_1,b_2,dots ,b_n))

数量乘法：(k(a_1,a_2,dots ,a_n) := (ka_1,ka_2,dots ,ka_n))

加法：((a_1,a_2,dots ,a_n) + (b_1,b_2,dots ,b_n) := (a_1+b_1,a_2+b_2,dots ,a_n+b_n))

(0 := (0,0,dots ,0))

对于(alpha, eta, gamma in K^n)，(k,l in K)，有：
（1）(alpha + eta = eta + alpha)
（2）((alpha + eta) + gamma = alpha + (eta + gamma))
（3）(0 + alpha = alpha + 0 = alpha)，(0)是(K^n)的零元
（4）(-alpha := (-alpha_1, -alpha_2,dots ,-alpha_n), alpha + (-alpha) = (-alpha) + alpha = 0)，(-alpha)是(alpha)的负元
（5）(1 cdot alpha = alpha)
（6）((kl)alpha = k(lalpha))
（7）((k + l)alpha = kalpha + lalpha)
（8）(k(alpha + eta) = kalpha + keta)

定义 1：
数域(K)上所有(n)元有序数组组成的集合(K^n)连同定义在它上面的加法运算和数量乘积运算，及其满足的(8)条运算法则一起，称为数域(K)上的一个(n)维向量空间。(K^n)的元素称为(n)维向量，设向量(alpha = (a_1,a_2,dots ,a_n))，称(a_i)是(alpha)的第(i)个分量。

考虑：映射(f:A o B)，值域(f(A):={f(a)|ain A})，(f(A) subset B)
若(f(A) = B)，称(f)为满射，若(A)中不同元素的像不同，即单射。同时满足单射和满射的称为双射，即一一对应。运算法则的本质是映射！
对于集合(S,M)，定义(S imes M = {(a,b)|a in S, b in M})，称为(S)与(M)的笛卡尔积，那么所谓的(K^n)是数域(K)自身的(n)次笛卡尔积。

定义：非空集合(S)上的一个代数运算，是(S imes S)上的元素到(S)的一个映射。

定义：(V)是非空集合，(K)是一个数域，定义(V)上的加法运算即((alpha, eta) o alpha + eta)，(alpha + eta in V,(alpha, eta) in V imes V)。(K)与(V)之间有一个运算，称为数量乘法，即(f:K imes V o V,(k,alpha) o kalpha)，且满足(8)条运算法则：
（1）(alpha + eta = eta + alpha)，(forall alpha, eta in V)（加法交换律）
（2）((alpha + eta) + gamma = alpha + (eta + gamma))，(forall alpha, eta, gamma in V)（加法结合律）
（3）(V)中存在一个元素，记为(0)，满足(0 + alpha = alpha + 0 = alpha)，(forall alpha in V)，称为(0)元
（4）(forall alpha in V,exists eta in V)，使(alpha + eta = 0)，(eta)称为(alpha)的负元
（5）(1 cdot alpha = alpha)，(forall alpha in V)
（6）((kl)alpha = k(lalpha))，(forall k,l in K,alpha in V)
（7）((k + l)alpha = kalpha + lalpha)，(forall k,l in K,alpha in V)
（8）(k(alpha + eta) = kalpha + keta)，(forall k in K,alpha in V)（加法和数乘的连接）
那么(V)称为数域(K)上的线性空间，把(V)中的元素称为向量，也称(V)为向量空间。

例 1：几何空间：{以定点(O)为起点的所有向量}是一个线性空间。

例 2：(K^n := {(a_1,a_2,dots ,a_n)|a_i in K })也是一个线性空间。

例 3：(mathbb{R}^x :=){非空集合(x)到(mathbb{R})的映射}
规定((f+g)(x) := f(x) + g(x), forall x in X)；((kf)(x) := kf(x), forall x in X, k in mathbb{R})
零函数(0(x) := 0, forall x in X)
可以验证集合(mathbb{R}^x)是(mathbb{R})上的线性空间，即函数空间也是线性空间。

线性空间的性质：设(V)是数域(K)上的一个线性空间
（1）(V)的零元只有一个。
证明：假设(0_1, 0_2)都是(V)的零元，则(0_1 = 0_1 + 0_2 = 0_2 + 0_1 = 0_2)，故(0_1 = 0_2)，故零元唯一。
（2）(forall alpha in V)，(alpha)的负元唯一。
证明：设(eta_1,eta_2)都是(alpha)的负元，(eta_1 + (alpha + eta_2) = eta_1 + 0 = eta_1)。又((eta_1 + alpha) + eta_2 = 0 + eta_2 = eta_2)，即(eta_1 = eta_2)。故负元唯一。
（3）(0 cdot alpha = mathbf{0}, 0 in K, mathbf{0} in V)
证明：(0cdot alpha = (0 + 0)alpha = 0 cdot alpha + 0 cdot alpha)，两边加上(-0 cdot alpha)得：(mathbf{0} = 0cdot alpha - 0cdot alpha = 0cdot alpha + 0cdot alpha - 0cdot alpha Rightarrow 0cdot alpha = mathbf{0})
（4）(k cdot mathbf{0} = mathbf{0}, forall k in K, mathbf{0} in V)
证明：(k cdot mathbf{0} = k(mathbf{0} + mathbf{0}) = k cdot mathbf{0}+k cdot mathbf{0})，两边加上(-k cdot mathbf{0})得：(mathbf{0} = k cdot mathbf{0} + k cdot mathbf{0} + (-k cdot mathbf{0}) = k cdot mathbf{0})
（5）若(k cdot alpha = mathbf{0})，则(k = 0)或(alpha = mathbf{0})
证明：若(k eq 0)，则(alpha = 1 cdot alpha = (k^{-1} cdot k) alpha = k^{-1}(k cdot alpha) = k^{-1} cdot mathbf{0} = mathbf{0})
（6）((-1) cdot alpha = -alpha,forall alpha in V)
证明：(alpha + (-1) cdot alpha = 1 cdot alpha + (-1) cdot alpha = [1 + (-1)] cdot alpha = 0 cdot alpha = mathbf{0})。故((-1)cdot alpha)是(alpha)的负元。

定义 2：
设(V)是数域(K)上的一个线性空间，(U)是(V)的一个非空子集，若(U)对于(V)的加法和数量乘法，也称为数域(K)上的一个线性空间，称(U)是(V)的一个线性子空间。

(V)的非空子集(U)是子空间（即，已知(U)是(V)的子集，那么(U)是子空间的充要条件是(1)、(2)）
(Leftrightarrow)
（1）若(alpha, eta in U)，则(alpha + eta in U)（(U)对(V)的加法封闭）
（2）若(alpha in U, k in K)，则(kalpha in U)（(U)对(V)的数乘封闭）
由定义可知(1)(2)是(U)为(V)的子空间的必要条件，下面证明充分性：

(V)的加法和数乘限制到(U)上，就是(U)的加法和数乘。显然，(U)满足运算法则1、2、5、6、7、8，由(U subset V)可推。考察第3条，由于(U eq emptyset)，因此有(eta in U)，从而(0 cdot eta in U)，即(mathbf{0} in U)，故(U)中存在零元，第3条成立。考察第4条，(forall alpha in U)，有(-alpha = (-1) cdot alpha in U)，即(alpha)的负元也在(U)中，第4条成立。由定义，(U)定义了加法和数乘后，又满足了8条运算法则，那么(U)是数域(K)上一个线性空间，故(U)是(V)的一个空间。

零子空间，(V)显然是(V)的子空间。
向量组(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s,alpha_i in V)；(k_1, k_2,dots ,k_s, k_i in K)
那么(k_1alpha_1 + k_2alpha_2 + dots + k_salpha_s)称为向量组的一个线性组合。
故，给定一个向量组(alpha_1,alpha_2,dots ,alpha_s, alpha_i in V)
(W = {k_1alpha_1+k_2alpha_2+dots +k_salpha_s|k_1,k_2,dots ,k_s in K})
即(W)表示上述给定向量组的全部线性组合。

1. (W eq emptyset)
2. (mathbf{0} in W)
3. 加法封闭
4. 数乘封闭

综上，(W)满足判别条件(1)(2)，故(W)是(V)的线性子空间。
称(W)是由向量组(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s)生成的子空间，记为(<alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s>)或(mathcal{L}(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s))

定义：
那么对(eta in <alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s>)等价于(exists K)中一组数，(l_1, l_2, dots, l_s)使(eta = l_1alpha_1, l_2alpha_2, dots, l_2alpha_s)
若(exists K)中一组数(l_1, l_2, dots, l_s)使(eta = l_1alpha_1, l_2alpha_2, dots, l_2alpha_s)，那么称(eta)可以由向量组(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s)线性表出。

回到原来的线性方程组的问题，数域(K)上的(n)元线性方程组：

[egin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + cdots + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + cdots + a_{2n}x_n = b_2 \ dots dots\ a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + cdots + a_{sn}x_n = b_s end{cases} ]

记列向量

[alpha_1 = egin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ vdots \ a_{s1} end{pmatrix} alpha_2 = egin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ vdots \ a_{s2} end{pmatrix} cdots alpha_n = egin{pmatrix} a_{1n} \ a_{2n} \ vdots \ a_{sn} end{pmatrix} eta = egin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ vdots \ b_s end{pmatrix} ]

等价于(x_1alpha_1 + x_2alpha_2 + dots + x_nalpha_n = eta)有解
充要条件，(K)中一组数(c_1,c_2,dots ,c_n)，使：
(c_1alpha_1 + c_2alpha_2 + dots c_nalpha_n = eta)，((c_1,c_2,dots ,c_n))为解，即(eta)可由向量组(alpha_1, alpha_2, dots, alpha_s)线性表出。至此，关于线性方程组是否有解的问题转换为了研究线性空间和子空间结构的问题。