增广矩阵( ilde{A} stackrel{初等行变换}{longrightarrow})阶梯形矩阵( ilde{J})
系数矩阵(A stackrel{初等行变换}{longrightarrow})阶梯形矩阵(J)
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方程组无解 (Rightarrow)( ilde{J})有非零行((0,0,dots,0,d)) (Rightarrow)(J)有零行(Rightarrow)(|J| = 0)
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方程组有无穷多个解(Rightarrow)( ilde{J})非零行数目(r < n)（( ilde{J})的行数）(Rightarrow)( ilde{J})有(0)行(Rightarrow)(J)有(0)行(Rightarrow)(|J| = 0)
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方程组有唯一解(Rightarrow)( ilde{J})非零行数目(r = n)(Rightarrow)(J)有(n)个非(0)行(Rightarrow)(J)有(n)个主元
[J =
egin{pmatrix}
c_{11} & c_{12} & cdots & c_{1n} \
0 & c_{22} & cdots & c_{2n} \
vdots & vdots & & vdots \
0 & 0 & cdots & c_{nn}
end{pmatrix}
其中c_{11},c_{12},dots, c_{nn}不为0 \
herefore |J|
eq 0
]
故方程组有唯一解(Leftrightarrow |J| eq 0 Leftrightarrow |A| eq 0(|J| = l|A|, l eq 0))
定理 1：
数域(K)上(n)个方程的(n)元线性方程组，有唯一解的充分必要条件是系数行列式不等于(0)
推论 1：
数域(K)上的(n)个方程(n)元齐次线性方程组只有零解的充要条件是(|A| = 0)，而有非零解的充要条件是(|A|
eq 0)
拓展：
二阶行列式表示的是平行四边形的面积，三阶行列式表现的是平行六面体的体积。