餐巾计划问题（费用流）

题意

一个餐厅在相继的 (N) 天里，每天需用的餐巾数不尽相同。假设第 (i) 天需要 (r_i) 块餐巾 ((i=1,2,dots,N))。

餐厅可以购买新的餐巾，每块餐巾的费用为 (p) 分；或者把旧餐巾送到快洗部，洗一块需 (m) 天，其费用为 (f) 分；或者送到慢洗部，洗一块需 (n) 天，其费用为 (s) 分。

餐厅每天使用的餐巾必须是今天刚购买的，或者是今天刚洗好的，且必须恰好提供 (r_i) 块毛巾，不能多也不能少。

每天结束时，餐厅必须决定将多少块脏的餐巾送到快洗部，多少块餐巾送到慢洗部，以及多少块保存起来延期送洗。但是每天洗好的餐巾和购买的新餐巾数之和，要满足当天的需求量。

试设计一个算法为餐厅合理地安排好 (N) 天中餐巾使用计划，使总的花费最小。

思路

这道题的思路挺神奇的。就是把每一天拆成两个点，一个点指的是旧餐巾，另一个点指的是需要的餐巾数量。

首先每天需要的餐巾数量向汇点(T)连容量是(r_i)，费用是(0)的边。

对于每天需要的餐巾数量，有三个来源，一个是直接购买（源点(S)向其连容量是(infty)，费用是(p)的边）；可以通过快洗部（相应旧餐巾向其连容量是(infty)，费用是(f)的边）；可以通过慢洗部（相应旧餐巾向其连容量是(infty)，费用是(s)的边）。

然后再考虑旧餐巾。因为每天都会使用(r_i)的餐巾，这部分就成为了旧餐巾，因此源点(S)向旧餐巾连容量是(r_i)，费用是(0)的点；旧餐巾可以留到下一天，因此每天的旧餐巾可以向下一天连容量是(infty)，费用是(0)的边。

跑最小费用流就可。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 1610, M = 10010, inf = 1e8;

int n, p, d1, c1, d2, c2, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], w[M], idx;
int d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool spfa()
{
    memset(d, 0x3f, sizeof(d));
    memset(incf, 0, sizeof(incf));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, incf[S] = inf;
    st[S] = true;
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        st[t] = false;
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(f[i] && d[ver] > d[t] + w[i]) {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(incf[t], f[i]);
                if(!st[ver]) {
                    que.push(ver);
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }
    return incf[T] > 0;
}

int EK()
{
    int cost = 0;
    while(spfa()) {
        int t = incf[T];
        cost += t * d[T];
        for(int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1]) {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
    return cost;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d%d%d", &n, &p, &d1, &c1, &d2, &c2);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    S = 0, T = 2 * n + 1;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) {
        int r;
        scanf("%d", &r);
        add(S, i, r, 0);
        add(i + n, T, r, 0);
        add(S, n + i, inf, p);
        if(i + 1 <= n) add(i, i + 1, inf, 0);
        if(i + d1 <= n) add(i, i + d1 + n, inf, c1);
        if(i + d2 <= n) add(i, i + d2 + n, inf, c2);
    }
    printf("%d
", EK());
    return 0;
}