网络战争（最小割，01分数规划）

题意

思路

首先推一下01分数规划的式子，(frac{sum_{e in C} w_e}{|C|} > lambda Leftrightarrow sum_{e in C} w_e > lambda |C| Leftrightarrow sum_{e in C} (w_e - lambda) > 0)

因此，我们可以通过二分的手段枚举答案(mid)，若(sum_{e in C} (w_e - mid) > 0)，则答案在(mid)的右侧；反之，在左侧。

转化每条边的边权为(w_e - mid)，因为这道题中的边割集不是最小割中的割边，这意味着我们可以选择除了割边以外的其他边。

若(w_e - mid < 0)，则必选且并不需要将这些边放入流网络中，必选的原因是能够使得整个式子变小，即增大整个式子小于(0)的可能性。反之，则作为流网络中的边。

因为最小割是分开源点和汇点的边权和的最小值，因此还要选上最小割的割边。

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

const int N = 110, M = 810;
const double eps = 1e-8, inf = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;
double f[M];
int cur[N], d[N];

void add(int a, int b, double c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
    e[idx] = a, w[idx] = c, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> que;
    que.push(S);
    d[S] = 0, cur[S] = h[S];
    while(que.size()) {
        int t = que.front();
        que.pop();
        for(int i = h[t]; ~i; i = ne[i]) {
            int ver = e[i];
            if(d[ver] == -1 && f[i]) {
                d[ver] = d[t] + 1;
                cur[ver] = h[ver];
                if(ver == T) return true;
                que.push(ver);
            }
        }
    }
    return false;
}

double find(int u, double limit)
{
    if(u == T) return limit;
    double flow = 0;
    for(int i = cur[u]; ~i && flow < limit; i = ne[i]) {
        cur[u] = i;
        int ver = e[i];
        if(d[ver] == d[u] + 1 && f[i]) {
            double t = find(ver, min(f[i], limit - flow));
            if(!t) d[ver] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

double dinic()
{
    double res = 0, flow;
    while(bfs()) {
        while(flow = find(S, inf)) {
            res += flow;
        }
    }
    return res;
}

bool check(double mid)
{
    double res = 0;
    for(int i = 0; i < idx; i += 2) {
        if(w[i] <= mid) {
            res += w[i] - mid;
            f[i] = f[i ^ 1] = 0;
        }
        else f[i] = f[i ^ 1] = w[i] - mid;
    }
    res += dinic();
    return res >= eps;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    memset(h, -1, sizeof(h));
    for(int i = 0; i < m; i ++) {
        int a, b;
        double c;
        scanf("%d%d%lf", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    double l = 0, r = 1e7;
    while(r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if(check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf("%.2lf
", r);
    return 0;
}