小波变换
函数空间(f(x)in V)
[V=overline{S P A N varphi_{k}(x)}
]
所有构成函数空间(V)的基函数都是归一化正交的(orthonormal basis),即任意两个基函数之间都是归一化正交的(orthonormal)
正交:https://zh.wikipedia.org/wiki/正交
尺度函数
母函数
[varphi_{j, k}(x)=2^{j / 2} varphileft(2^{j} x-k
ight)
]
- k是平移，沿着x轴的位置
- j是尺度，沿着x轴的宽度
每个尺度j都有对应的子空间
[V_{j}=overline{S P A N varphi_{j, k}(x)} quad ext { if } f(x) in V_{j}, quad f(x)=sum_{k} alpha_{k} varphi_{j, k}(x)
]
同时：
[varphi_{j, k}(x)=sum_{n} alpha_{n} varphi_{j+1, n}(x)
]
而小波函数(wavelet function):
相邻两个尺度之间的(V_j)和(V_{j+1})的差异区域
[psi_{j, k}(x)=2^{j / 2} psileft(2^{j} x-k
ight)
]
函数空间可以通过至少一个尺度函数和小波函数来表达
[L^{2}(mathbf{R})=V_{j_{0}} oplus W_{j_{0}} oplus W_{j_{0}+1} oplus cdots
]
小波函数系数：
[psi(x)=sum_{n} h_{psi}(n) sqrt{2} varphi(2 x-n)
]
哈尔（Haar）小波
尺度函数：
[varphi(x)=left{egin{array}{ll}
1 & 0 leq x<1 \
0 & ext { otherwise }
end{array}
ight.
]
小波函数：
[psi(x)=left{egin{array}{ll}
1 & 0 leq x<0.5 \
-1 & 0.5 leq x<1 \
0 & ext { elsewhere }
end{array}
ight.
]
哈尔小波生成函数:
[psi_{j, k}(x)=2^{j / 2} psileft(2^{j} x-k
ight)
]
函数(f(x))的小波序列展开(wavelet series expansion)
[f(x)=sum_{k} c_{j_{0}}(k) varphi_{j_{0}, k}(x)+sum_{j=j_{0}}^{infty} sum_{k} d_{j}(k) psi_{j, k}(x)
]
例子：
[f(x)=left{egin{array}{ll}
x^{2} & 0 leq x<1 \
0 & ext { otherwise }
end{array}
ight.
]
计算系数：计算(f(x))在([0,1))区间的初始尺度系数和二次方展开每层的小波系数
哈尔小波序列展开估计原函数：
[f(x)=frac{1}{3} varphi_{0,0}(x)+left[-frac{1}{4} psi_{0.0}(x)
ight]+left[-frac{sqrt{2}}{32} psi_{1,0}(x)-frac{3 sqrt{2}}{32} psi_{1,1}(x)
ight]+ldots
]
小波变换(discrete wavelet transform)
正变换
[W_{varphi}left(j_{0}, k
ight)=frac{1}{sqrt{M}} sum_{x} f(x) varphi_{j_{0}, k}(x)
]
[W_{psi}(j, k)=frac{1}{sqrt{M}} sum_{x} f(x) psi_{j, k}(x), quad j geq j_{0}
]
(j_0=0),(j)的取值范围([0,J-1]),(k)的取值范围([0,2^{j}-1]),(x)的取值范围([0,M-1])
反变换
[f(x)=frac{1}{sqrt{M}} sum_{k} W_{varphi}left(j_{0}, k
ight) varphi_{j_{0}, k}(x)+frac{1}{sqrt{M}} sum_{j=j_{0}}^{infty} sum_{k} W_{psi}(j, k) psi_{j, k}(x)
]
快速小波变换（后续补充)
二维小波变换
[egin{array}{l}
varphi(x, y)=varphi(x) varphi(y) \
psi^{H}(x, y)=psi(x) varphi(y) \
psi^{V}(x, y)=varphi(x) psi(y) \
psi^{D}(x, y)=psi(x) psi(y)
end{array}
]
[egin{aligned}
varphi_{j, m, n}(x, y) &=2^{j / 2} varphileft(2^{j} x-m, 2^{j} y-n
ight) \
psi_{j, m, n}^{i}(x, y) &=2^{j / 2} psi^{i}left(2^{j} x-m, 2^{j} y-n
ight), quad i={H, V, D}
end{aligned}
]
[egin{aligned}
W_{varphi}left(j_{0}, m, n
ight) &=frac{1}{sqrt{M N}} sum_{x=0}^{M-1} sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) varphi_{j_{0}, m, n}(x, y) \
W_{psi}^{i}(j, m, n) &=frac{1}{sqrt{M N}} sum_{x=0}^{M-1} sum_{y=0}^{N-1} f(x, y) psi_{j, m, n}^{i}(x, y)
end{aligned}
]
小波变换可分离，因此可以先进行行变换后对结果再进行列变换
实践
Python对应的库https://pywavelets.readthedocs.io/en/latest/
二维离散对应函数小波变换正变换dwt2,小波逆变换idwt2
原图:
img = cv2.imread(path.join(resource_path,"fzuimage2.jpg"),cv2.IMREAD_GRAYSCALE)
# import pywt.data
# img = pywt.data.camera()
img = img[:256,:256]
C0,C1,C2 = pywt.wavedec2(img,'haar',level=2)
trans = np.vstack((np.hstack((np.vstack((np.hstack((C0,C1[0])),np.hstack(tuple(C1[1:])))),C2[0])),np.hstack(tuple(C2[1:]))))
plt.figure(1)
plt.imshow(trans,cmap="gray")
plt.figure(2)
plt.imshow(pywt.waverec2((C0,C1,C2),'haar'),cmap="gray")
plt.show()
