一、簇图中的消息传递
1.1 消息传递
一种简单的建模：
用factor作为顶点，factor之间的共有变量的子集作为边，生成一个传递网络。
严格定义（簇图）：
(1)顶点=簇=一系列变量的集合$C_i$
(2)边=sepset=顶点之间的共有变量的子集$S_{i,j}$，注意可以是子集。一条边可以拆成两条有向的Message。
(3)把每个$phi_k$指派给某一个包含$scope[phi_k]$的簇$C_i$上。
(4)$C_i$拥有的所有$phi_k$乘起来为$psi_i(C_i)$
消息传递图不是唯一的，可以构造不同的边集，边上也可以选择不同的共有变量子集。
消息传递算法：
迭代：$delta_{i o j}$: $psi_i$乘以所有的$delta_{h o i}$，然后对所有$S_{i,j}$不包含的变量作累加。注意：所有的h不包括j
一开始所有的$delta$都是1, 不断选取i和j做迭代。
1.2 簇图的性质
簇图必须满足下列两个性质：
(a) 对每个$phi_k$，必须有一个顶点$C_i$能容纳它。也就是$C_i$包含了$phi_k$的所有变量。
(b) 对于任意两个$C_i, C_j$, 以及它们的任意一个共享变量X, 必能找到一条唯一的通路$C_i, cdots, C_j$，通路上的每个顶点都包含X。（针对不同的共享变量，通路可以不一样）
(b.1)存在性：如果没有通路，那么$C_i, C_j$就没有办法传递和共享彼此关于X的信息。
(b.2)唯一性：如果有两条通路，那就形成了一个环，可以不断地加强某个信念。
对强相关性的两个变量，如果通过两条路来传播，那么置信传递效果比较差，例如$C_i$和$C_j$关于$X$有一条通路，关于$Y$有另一条通路，实际上也相当于形成了一个环，因为$X,Y$的强相关性，在互相加强彼此为某个值的信念。
满足存在性和唯一性的数据结构是树。也就是说，对任何变量X来说，包含变量X的顶点和边将组成一棵树。
Bethe图：
一种常见的簇图（Bethe图）构建方法是：一个二部图，A侧顶点由所有的$mathrm{scope}[phi_k]$，B测顶点由所有随机变量组成，如果$X_i$属于$mathrm{scope}[phi_k]$，那么在它们之间有边。
这种图简单，对强相关性的变量效果差。因为B侧所有变量都是分开的
1.3 簇图调校
簇信念：将一个顶点$C_i$的$psi$乘上所有邻边的$delta_{k o i}$：
$eta_i(C_i)=psi_i imes prod_{kin N_i}delta_{k o i}$
如果经过调校（注意调校的是$delta$），相邻顶点$C_i,C_j$对它们的连接变量的信念达到一致，则认为调校完成。 所谓连接变量，就是它们连接边上的变量(sepset)
$sum_{mathbf{C_i}-mathbf{S_{i,j}}}eta_i(mathbf{C_i})=sum_{mathbf{C_j}-mathbf{S_{i,j}}}eta_j(mathbf{C_j})$
收敛：
如果$delta_{i o j}$在经过迭代前后，值不变。那么称为收敛。
经过简单的数学变换，可以得出收敛条件是：边上的相反的一对$delta_{i,j}(S_{i,j})$和$delta_{j,i}(S_{i,j})$相乘后，等于顶点i对$S_{i,j}$的信念, 也等于顶点j对$S_{i,j}$的信念
所以这里引入另一个概念， 边(sepset)信念：$mu(i,j)=delta_{i,j}(S_{i,j})delta_{j,i}(S_{i,j})$，即两条message的乘积。收敛的条件可以简单描述成：边信念等于两头的簇对它信念
经过数学变换，或者观察图，可以发现，所有的簇信念除以所有的边信念，得出来的就是原来所有factor的乘积。
二、团树（Clique Tree）
2.1 团树算法 - 正确性
(1)Factor性质：对于两个Factor的非共有变量，相乘后和相乘前做边缘化不影响最后结果。
(2)团树定义：无向树，顶点是变量簇$C_i$，边为共享变量子集$S_{i,j}$
(3)团树性质：
(3.1)每个$phi$都可以找到包含自己全部变量的$C_i$
(3.2)对每对顶点$C_i,C_j$的唯一通路上（点和边），必定包含了两者所有的共有变量
(3.3)在通路上，一旦某个变量被消除了，就不会在后面的路径上重新出现。否则违背了（3.2）
2.2 过程
(1)定理：对于消息$delta_{i o j}$
(1.1)如果$C_i$是叶子结点，那么$delta_{i o j}$是final
(1.2)如果所有的$h e j$, $delta_{h o i}$是final，那么$delta_{i o j}$也是final
(2)算法：从所有的叶子出发传播，覆盖所有的顶点。所有的边都需要正反各传播一次，若顶点数为$K$，则边数为$K-1$，所以总传播次数为$2(K-1)$
(3)Query $P(mathbf{X})$: 把所有的$psi$对$mathbf{X}$边缘化，再执行传播算法。就得出了$ ilde{P}(X)$，对这个$ ilde{P}$表作renormalize就是概率。
(4)Query $P(mathbf{X}|mathbf{Z}=mathbf{z})$：把所有$psi$里$mathbf{Z} e mathbf{z}$的行消掉，然后执行(3)
2.3 团树与独立性
(1)定理：对于任何一条边，它左边变量集和右边的变量集在给定$S_{i,j}$的情况下是条件独立的。证明：
如果存在X，Y分别属于左右变量集，且不独立，那么它们在原来的马尔科夫图上必有一条边，也就是必有一个$phi$同时包含了X,Y。如果这个$phi$属于左边某个$C_i$，所以Y必定出现在$C_i$里，而因为Y属于右边变量集，那么必定从$C_i$到右边有一条通路，通路每条边每个点都必须包含Y。那么Y就属于$S_{i,j}$，这和假设矛盾。
(2)推论：每个$S_{i,j}$必定将原Markov图分成两个条件独立的部分。对二部图来说，$S_{i,j}$的最小尺寸应为一侧顶点数个数。对网格图来说$S_{i,j}$最小尺寸为长宽的最大值，才能把左上角和右下角顶点隔开。
2.4 变量消除与团树
(1)VE的三个步骤
(1.1)把所有包含某个变量$X_i$的$phi$聚到一起，相乘得到$lambda_i$
(1.2)把$lambda_i$对$X_i$求和，生成$ au_i$
(1.3)$ au_i$参与下一步的计算
(2)从CT的角度来看
(2.1)$lambda_i$就是团
(2.2)$ au_i$是$lambda_i$生成的消息，传递给后面的$lambda_j$
(3)VE转换成CT的步骤
(3.1)对所有的$lambda_i$建立一个簇$C_i$
(3.2)如果$lambda_i$用于$lambda_j$的计算，则$C_i$和$C_j$连边，边上的message是$ au_i$
(4)结论：
(4.1)VE生成的是树，不是图。因为VE过程中，每个$ au_i$作为message只用了一次，也就是每个$C_i$只将message传给一个$C_j$，其中$i<j$
(4.2)这棵树满足Family Preserving。因为每个原始$phi$都需要在消除步骤中使用，也就是要乘到一个$lambda_i$里面去，因此$lambda_i$必定包含了$phi$的所有变量。（$lambda_i$就是$psi(C_i)$）
(4.3)这棵树也满足Reserved Intersection Property：一个变量只有一个起点，而且在它的sum out点之前，一直都是会传递下去的。
(4.4)通过选择不同的消除顺序会产生不同的VE过程，也将产生对应的不同的CT。通过DP在CT上计算marginal只需要花费2倍于VE的时间（？）