级数1
1/3=0.3333333333........
2/3=0.6666666666........
根据1式，可得：
(1/3)x3=3x0.3333333333........=0.9999999999........
而，(1/3)x3=1
所以：1=0.9999999999........
级数2
芝诺悖论：内容是说，阿克琉斯与乌龟赛跑，但阿克琉斯永远也追不上乌龟的故事.
假设，乌龟在阿克琉斯前面100m处，乌龟的行进速度是0.1m/s，阿克琉斯的行进速度是10m/s，以这样的前提，开始赛跑，按照芝诺的说法，阿克琉斯永远也追不上乌龟，因为：每次，阿克琉斯都必须行进到他与乌龟之间距离的中点，这个时间段内，乌龟也行进了一段距离，接下来，阿克琉斯又开始超越乌龟，又会行进到他与乌龟距离之间的中点，这时候，乌龟又行进了一段距离，不管时间多短，距离多小，但，阿克琉斯是永远也追不上乌龟的.
我们来简单的了解下他的证明过程：
一般地，设：乌龟先行进a，乌龟的速度为v1，阿克琉斯的速度为v2.
对于阿克琉斯而言：
到达第1个终点，需要时间：a/v2
到达第2个终点，需要时间：v1xa/v2/v2
到达第3个终点，需要时间：v1xv1xa/v2/v2/v2
到达第n个终点，需要时间：v1^(n-1)xa/v2^n
通项：an=v1^(n-1)xa/v2^n
由an可得Sn：Sn=ax(1-(v1/v2)^2)/v2-v1
对于limSn，当n->无穷时，limSn=a/v2-v1
即，Sn收敛于a/v2-v1
换言之，时间的累积永远不会超过这个数：a/v2-v1
所以，阿克琉斯也就永远追不上乌龟了.
然而，现实之中，阿克琉斯是可以追上乌龟并超越乌龟的.
级数3
例如，考虑以下这个无穷级数：
1-1/2+1/3-1/4+1/5-...........
我们怎么求这个无穷级数的和呢？
我们或许会这样计算：
1-1/2+1/3-1/4+1/5-...........=(1-1/2)+(1/3-1/4)+(1/5-1/6)+....=1/2+1/3x4+1/5x6...
计算这个结果是比较困难的，但，显然，我们可以看出，他的和是比1/2大的数.
可是，如果一个人，稍微偷点懒，这样计算：
1-1/2+1/3-1/4+1/5-...=(1+1/3+1/5+1/7+...)-(1/2+1/4+1/6+1/8+...)=(1+1/3+1/5+1/7+...)-(1/2+1/4+1/6+1/8+...)+(1/2+1/4+1/6+1/8+...)-(1/2+1/4+1/6+1/8+...)=(1+1/3+1/5+1/7+...)+(1/2+1/4+1/6+1/8+...)-2x(1/2+1/4+1/6+1/8+...)=(1+1/2+1/3+...)-(1+1/2+1/3+...)=0
但是，正确答案到底是0还是比1/2大的数呢？想来想去，似乎两者都正确.
又例如，1-1+1-1+1-1+...
为了计算这个级数，有3个人采用了3种不同的方法计算，结果，得出3种不同的答案.
a.从第1个数起，相邻俩个数结合，答案0
1-1+1-1+1-1+...=(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0+0+0+...=0
b.从第2个数起，相邻俩个数结合，答案1
1-1+1-1+1-1+...=1+(-1+1)+(-1+1)+...=1+0+0+...=1
c.代数法计算，设x，答案1/2
设，x=1-1+1-1+1-1+...
1-1+1-1+1-1+...=1-(1-1+1-1+1-...)=1-x=x
即，x=1-x，则，x=1/2
附：
极限,变换,完备,收敛,是谁的发现?
只想在希尔伯特空间里找寻那颗不动点.
阿波罗尼生于帕加,凝视着永恒的圆锥曲线,
欧几里德几何,天才的孜孜不倦,
芝诺作出了阿克琉斯追不上乌龟的妄言,
丟番图却在静静欣赏不定方程的解.