导向滤波算法分析

本文从数学上推导导向滤波的算法，其算法的具体实现在下一篇导向滤波算法的实现介绍。

设引导图G，输入图像P，输出图像Q。导向滤波的目标是使得输入P和输出Q尽可能相同，同时纹理部分和引导图G相似。

为了满足第一个目标，使输入P和输出Q尽可能相似，我们要求最小化平方差

为了满足第二个目标，使输出图像Q的纹理和引导图G的纹理相似，我们要

积分得到

考虑一个小窗口W_k，在W_k内认为a，b保持不变，设为a_k，b_k。W_k内的像素满足

　　(1)

把(1)代入第一个目标，使窗口内的像素同时满足上面两个条件。

　　(2)

其中ε是一个惩罚大的a_k的正则化参数。使(2)最小，满足

其中|W|是窗口W_k的像素总数。解得

　　(3)

　　(4)

如果设/p_k是输入图P在窗口W_k的平均值，μ_k和σ_k²是引导图G在窗口W_k的平均值和方差。我们发现

　　(5)

　　(6)

其中是引导图G和输入图P在W_k的协方差。

计算出a_k，b_k后，就可以根据(1)来计算窗口W_k的输出像素。对于一个像素i，输出值q_i和所有覆盖像素i的窗口W_k有关。所以当W_k不同，q_i的值也不相同。一个简单的策略是平均所有可能的q_i值。计算了所有覆盖i的窗口W_k的a_k，b_k，所有覆盖像素i的窗口W_k的个数为|W|，那么

　　(7)

　　(8)

其中，。

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特别的，当引导图G和输入图像P相同的时候，导向滤波出现边缘保持平滑特性，分析如下。当G=P时，很明显，，由式(5)(6)得到，。当ε=0时，a_k=1，b_k=0，即输出和输入图像相同。如果ε>0，考虑两种情况。

第一种，高方差。如果图像P在窗口W_k中有很多变化，那么σ_k²>>ε，有a_k≈1，b_k≈0。

第二种，平坦块。那么σ_k²<<ε，有a_k≈0，b_k≈μ_k。如果整个输入图像都如窗口W_k似的很平坦的，当a_k，b_k被平均后得到/a_k≈0，/b_k≈μ_k，q_i≈μ_k。

这样，当一个像素在高方差的窗口中时，它的输出值是不变的。在平坦区域中，它的输出值变成周围窗口像素的平均值。具体的，高方差和平坦的标准是由参数ε控制的。如果窗口的方差比此参数小的多则被平滑，那么方差大得多的则被保留。而窗口的大小决定了是参考周围多大范围的像素来计算方差和均值。

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至此，已经可以根据(5)~(8)式计算导向滤波的参数，从而计算输出图像Q。导向滤波的的算法实现在下一篇文章介绍。下面把导向滤波用通用滤波器核来表达进行进一步分析。

导向滤波在像素点i的滤波结果可以表达为一个加权平均

　　(9)

其中i，j都是像素下标。滤波器核W_ij是引导图G的函数并且与P独立。下面计算滤波器核。把(6)带入(8)消去b得到：

　　(10)

求偏导

　　(11)

其中

　　(12)

当j处于窗口W_k时，否则为0。

　　(13)

把(12)(13)带入(11)得到

即

　　(14)

考虑含有边缘阶跃信号的图像，如果i，j在边缘的同一侧，(g_i-μ_k)和(g_j-μ_k)符号相同，而当它们在边缘的两侧时则符号不同。所以W_ij(G)当两个像素点在边缘的两侧时比在相同边时要小得多。这就说明隔着边缘的时候，p_j对结果的贡献很小，窗口像素不会平均到一起。而当j和i在边缘的同侧时，输出像素q_i是同侧像素的加权平均值。加权系数由导向图G决定。因此可以看到，导向滤波确实可以起到保留边缘的作用。