马尔科夫预测 转自---银河统计
马尔柯夫（A.A Markov 俄国数学家），20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。例：设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济行为都可用这一类过程来描述或近似。
所谓马尔科夫链，就是一种随机时间序列，它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么值无关，即无后效性。具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔科夫链。
目录概览
1.1 基本概念
1.1.1 状态与状态变量
1.1.2 状态转移
1.1.3 状态转移概率
1.1.4 状态转移概率矩阵
1.1.5 多步状态转移概率矩阵
1.1.6 初始状态概率向量
1.1 基本概念
- 1.1.1 状态与状态变量
状态：指事物的某种属性所具有的不同特征（客观事物可能出现或存在的状况）。如：商品可能畅销也可能滞销；机器运转可能正常也可能故障等。同一事物不同状态之间必须相互独立:不能同时存在两种状态。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如：某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。
例如：
事物（人）——性别（属性）——男、女（特征）——（两状态）
事物（人）——大学生年级（属性）——1、2、3、4年级（特征）——（四状态）
事物（掷色子）——某面朝上（属性）——1、2、3、4、5、6（特征）——（六状态）
事物（商品）——销售量（属性）——畅销、滞销（特征）——（两状态）
状态变量：用状态变量来表示状态。
它表示随机运动系统，在时刻 t(t=1,2,3,…)t(t=1,2,3,…)，所处的状态为 i(i=1,2,3,…,N)i(i=1,2,3,…,N) 。
- 1.1.2 状态转移
状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化（指事物的状态在一定条件下可能发生的转移）。
例如：
由于产品质量或替代产品的变化，市场上产品可能由畅销变为滞销。畅销和滞销——可以相互转移状态。
1、2、3、4年级——不返回状态。其中，毕业为不返回状态。
男、女——不可相互转移状态。
助教、讲师、副教授、教授、退休、死亡、（调离、调入）——吸收状态
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1.1.3 状态转移概率
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客观事物可能有 E1,E2,…,ENE1,E2,…,EN 共 nn 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有 nn 个转向（包括转向自身），即 Ei→E1,Ei→E2,…,Ei→ENEi→E1,Ei→E2,…,Ei→EN 。
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由于状态转移是随机的。因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。
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概率论中的条件概率：P（A|B）就表达了由状态 B 向状态 A 转移的概率，简称为状态转移概率。
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对于由状态 EiEi 转移到状态 EjEj 的概率，称它为从 i 到 j 的转移概率。记为：
Pij=P(Ej|Ei)=P(Ej→Ei)=P(xn+1=j|xn=i)Pij=P(Ej|Ei)=P(Ej→Ei)=P(xn+1=j|xn=i)它表示由状态 EiEi 经过一步转移到状态 EjEj 的概率。
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状态转移概率计算：
例子：某地区有甲、乙、丙三家食品厂生产同一种食品，有一千个用户（或购货点），假定在研究期间无新用户加入也无老用户退出，只有用户的转移，已知 2006 年 5 月份有 500 户是甲厂的顾客；400 户是乙厂的顾客；100 户是丙厂的顾客。6 月份，甲厂有 400 户原来的顾客，上月的顾客有 50 户转乙厂，50 户转丙厂；乙厂有 300 户原来的顾客，上月的顾客有 20 户转甲厂，80 户转丙厂；丙厂有 80 户原来的顾客，上月的顾客有 10 户转甲厂，10 户转乙厂。计算其状态转移概率。
解：由题意得 6 月份顾客转移表，如下：
| 厂名 | 甲 | 乙 | 丙 | 合计 |
|---|---|---|---|---|
| 甲 | 400 | 50 | 50 | 500 |
| 乙 | 20 | 300 | 80 | 400 |
| 丙 | 10 | 10 | 80 | 100 |
| 合计 | 430 | 360 | 210 | 1000 |
计算可得：
状态转移概率，如下：
- 1.1.4 状态转移概率矩阵
状态转移概率矩阵：将事件 nn 个状态的转移概率依次排列起来，就构成一个 NN 行× NN 列的矩阵，这种矩阵就是状态转移概率矩阵。
通常称矩阵 PP 为状态转移概率矩阵，没有特别说明步数时，一般均为一步转移概率矩阵。矩阵中的每一行称之为概率向量。
状态转移概率矩阵具有如下特征：
状态转移概率的估算：
估算方法：
【1】主观概率法（一般缺乏历史统计资料或资料不全情况下使用）。
【2】统计估算法。
例子1：设味精市场的销售记录共有 6 年 24 个季度的数据，见表。求味精销售转移概率矩阵。
<table style='100%; font-size:8pt;' border=1><tr style='font-weight: bold;text-align:left;font-size:8pt;color:#990000'><th>季度</th><th>销售</th><th>状态</th></tr><tr><td> 1</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td> 2</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td> 3</td><td>滞</td><td>2</td></tr><tr><td> 4</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td> 5</td><td>滞</td><td>2</td></tr><tr><td> 6</td><td>滞</td><td>2</td></tr><tr><td> 7</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td> 8</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td> 9</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td>10</td><td>滞</td><td>2</td></tr><tr><td>11</td><td>畅</td><td>1</td></tr><tr><td>12</td><td>滞</td><td>2</td></tr><tr><td>13</td><td>畅</td><td>1</td></tr>