定义:
考虑一个有n个元素的排列,若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上,那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。 研究一个排列错排个数的问题,叫做错排问题或称为更列问题。
推导过程:
当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用D(n)表示,那么D(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.
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把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;
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放编号为k的元素,这时有两种情况:
⑴把它放到位置n,那么,对于剩下的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,剩下n-2个元素就有D(n-2)种 方法; ⑵第k个元素不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有D(n-1)种方法;
公式:
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地,D(1) = 0, D(2) = 1.
代码实现:
#include <stdio.h>
long long mod = 1e9+9;
int main(){
long long num;
scanf("%lld",&num);
long long arr[10000009];
arr[0] = 0;
arr[1] = 0;
arr[2] = 1;
for(long long i = 3; i <=num; i++ ){
arr[i] = ((arr[i-1]+arr[i-2])%mod)*(i-1)%mod; //关键公式
}
printf("%lld",arr[num]);
}