BZOJ 2005: [Noi2010]能量采集

2005: [Noi2010]能量采集

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Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】
5 4

【样例输入2】
3 4

Sample Output

【样例输出1】
36

【样例输出2】
20

【数据规模和约定】
对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

HINT

Source

数学题

本题为莫比乌斯反演入门题，也是我第一次编，这次是照着反演的定义编的，比网上其他标程长一倍。

具体实现见论文http://wenku.baidu.com/view/fbe263d384254b35eefd34eb.html

这里引用几个关键公式：

F(a,b,k)表示对于1<=x<=a,1<=y<=b,gcd(x,y)为k的倍数的x,y对数

G(a,b)表示对于1<=x<=a,1<=y<=b,gcd(x,y)=1的x,y对数

F (a, b, k) = (a/k) ∗ (b/k)

Ans = G(x, y) = P 1 ∗F (a, b, 1)+P 2 ∗F (a, b, 2)+P 3 ∗F (a, b, 3)+...+P x ∗F (a, b, x)

Pi= 0 i的分解质因数含相同质因数

1 i的分解含偶数个质因数

-1i的分解含奇数个质因数

其他乱搞，证明不懂。

另外，今天才发现对于形式为

　　a=(long long)b+c*d

　　其中a为long long，b,c,d为int
　　都可能爆int

应该改为

　　a=(long long)b+(long long)c*d

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m;
bool pflag[100000];
int prime[19999],topp=-1;
void init()
{
        int i,j;
        for (i=2;i<34000;i++)
        {
                if (!pflag[i])
                {
                        prime[++topp]=i;
                }
                for (j=0;j<=topp&&prime[j]*i<34000;j++)
                {
                        pflag[prime[j]*i]=true;
                        if (!i%prime[j])break;
                }
        }
}
typedef long long qword;
int p(qword x)
{
        int totp=0,totp2=0;
        for (int i=2;i*i<=x;i++)
        {
                if (x%i==0)
                {
                        totp++;
                        x/=i;
                        if (x%i==0)return 0;
                }
        }
        if(x>1)totp++;
        if (totp%2==0)return 1;
        return -1;
}
qword g=0,ans=0;
int main()
{
        freopen("input.txt","r",stdin);
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int a,b;
        if (n>m)swap(n,m);
        int i,j;
        int ii;
        init();
        for (ii=1;ii<=n;ii++)
        {
                a=n/ii;
                b=m/ii;
                g=0;
                for (i=1;i<=a;i++)
                {
                        g+=(qword)p(i)*(a/i)*(b/i);
                }
                ans+=(qword)ii*g;
        }
        cout<<(qword)ans*2-(qword)n*m<<endl;
}