Problem 1009. -- [HNOI2008]GT考试
1009: [HNOI2008]GT考试
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Description
阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为
0
Input
第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000
Output
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.
Sample Input
4 3 100
111
111
Sample Output
81
先给出递推关系式 dp[i][j]=a0*dp[i-1][0]+a1*dp[i-1][1]+a2*dp[i-1][2]+a3*dp[i-1][3]+.......an*dp[i-1][m-1];
最终有ans=dp[n][0]+dp[n][1]+dp[n][2]+....dp[n][m-1];
dp[i][j]的意思是前i个数组元素的后缀有j个和所要匹配的字符串相同。
首先说明这个递推关系式是正确的：将所有合法的号码按 字符串的尾缀与不合法字符串的前缀 相同元素的个数分类，满足不重不漏关系，所以DP是对的。
然后关系式为线性关系，所以可以用矩阵快速幂来计算。
剩下的问题就是如何求得a0,a1,a2....an（系数矩阵）。
进行一遍for循环范围为i=0----m-1，可以知道i只能对i+1之前的元素产生影响,然后再进行填数字。再由KMP进行确定系数。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int n,m,mod; int next[25],num[25]; void get(){ int i=0,j=-1; next[0]=-1; while(i<m){ if(j==-1||num[i]==num[j]) next[++i]=++j; else j=next[j]; } } struct node{ int mx[25][25]; node(){memset(mx,0,sizeof(mx));} }a; node mult(const node &a,const node &b){ node c; for(int i=0;i<m;++i) for(int j=0;j<m;++j) for(int k=0;k<m;++k) c.mx[i][j]=(c.mx[i][j]+a.mx[i][k]*b.mx[k][j])%mod; return c; } node ksm(node a,int k){ node r; for(int i=0;i<m;++i) r.mx[i][i]=1; while(k){ if(k&1) {r=mult(r,a);k|=1;} k>>=1; a=mult(a,a); } return r; } int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod); getchar(); for(int i=0;i<m;++i) num[i]=getchar()-'0'; get(); for(int i=0;i<m;++i) //进行第i个元素填充 for(int j=0;j<=9;++j){ //若第i个元素为j int tmp=i; //这里首先假设后缀满足了i个，然后对i个位置（数组元素从0开始，所以比较的时候还是num[tmp]而不是num[tmp+1]）填充j while(tmp!=-1&&j!=num[tmp]) tmp=next[tmp]; //若是不相同，就向前找。 if(tmp==-1) ++a.mx[i][0]; //如果未找到匹配的位置，则dp[i+1][0]的系数a[i][0]要加1 else ++a.mx[i][tmp+1]; //可以转移到tmp+1的位置（若开始就匹配，就表示可以转移到他的下一个位置，系数加1） }//系数矩阵显然是个方阵，第i行第j列表示前一个后缀满足i个转移到后一个后缀满足j个的系数（从而也可以知道系数矩阵第一行起初就是dp[1][0],dp[1][1]...dp[1][m]） a=ksm(a,n); int ans=0; for(int i=0;i<m;++i) ans=(ans+a.mx[0][i])%mod; printf("%d ",ans); }