第二十七章：不改变正负数之间相对顺序重新排列数组.时间O(N)，空间O(1)

 在这篇文章：九月腾讯，创新工场，淘宝等公司最新面试十三题的第5题(一个未排序整数数组，有正负数，重新排列使负数排在正数前面，并且要求不改变原来的正负数之间相对顺序)，自从去年九月收录了此题至今，一直未曾看到令人满意的答案，为何呢?

    因为一般达不到题目所要求的：时间复杂度O(N),空间O(1)，且保证原来正负数之间的相对位置不变。本编程艺术系列第27章就来阐述这个问题，若有任何漏洞，欢迎随时不吝指正。谢谢。

重新排列使负数排在正数前面

原题是这样的：

一个未排序整数数组，有正负数，重新排列使负数排在正数前面，并且要求不改变原来的正负数之间相对顺序。
比如： input: 1,7,-5,9,-12,15 ，ans: -5,-12,1,7,9,15 。且要求时间复杂度O(N),空间O(1) 。

    OK，下面咱们就来试着一步一步解这道题，如下5种思路（从复杂度O(N^2)到O(N*logN)，从不符合题目条件到一步步趋近于条件)）：

1. 最简单的，如果不考虑时间复杂度，最简单的思路是从头扫描这个数组，每碰到一个正数时，拿出这个数字，并把位于这个数字后面的所有数字往前挪动一位。挪完之后在数组的末尾有一个空位，这时把该正数放入这个空位。由于碰到一个正，需要移动O(n)个数字，因此总的时间复杂度是O(n２)。
2. 既然题目要求的是把负数放在数组的前半部分，正数放在数组的后半部分，因此所有的负数应该位于正数的前面。也就是说我们在扫描这个数组的时候，如果发现有正数出现在负数的前面，我们可以交换他们的顺序，交换之后就符合要求了。
   因此我们可以维护两个指针，第一个指针初始化为数组的第一个数字，它只向后移动；第二个指针初始化为数组的最后一个数字，它只向前移动。在两个指针相遇之前，第一个指针总是位于第二个指针的前面。如果第一个指针指向的数字是正而第二个指针指向的数字是负数，我们就交换这两个数字。
   但遗憾的是上述方法改变了原来正负数之间的相对顺序。所以，咱们得另寻良策。
3. 首先，定义这样一个过程为“翻转”：(a1,a2,...,am,b1,b2,...,bn) --> (b1,b2,...,bn,a1,a2,...,am)。其次，对于待处理的未排序整数数组，从头到尾进行扫描，寻找(正正...正负...负负)串；每找到这样一个串，则计数器加1；若计数为奇数，则对当前串做一个“翻转”；反复扫描，直到再也找不到(正正...正负...负负)串。

此思路来自朋友胡果果，空间复杂度虽为O(1)，但其时间复杂度O(N*logN)。更多具体细节参看原文：http://qing.weibo.com/1570303725/5d98eeed33000hcb.html。故，不符合题目要求，继续寻找。

1. 我们可以这样，设置一个起始点j, 一个翻转点k,一个终止点L，从右侧起，起始点在第一个出现的负数, 翻转点在起始点后第一个出现的正数,终止点在翻转点后出现的第一个负数(或结束)。

如果无翻转点, 则不操作，如果有翻转点, 则待终止点出现后, 做翻转, 即ab => ba 这样的操作。翻转后, 负数串一定在左侧, 然后从负数串的右侧开始记录起始点, 继续往下找下一个翻转点。

例子中的就是(下划线代表要交换顺序的两个数字)：

1, 7, -5, 9, -12, 15  
第一次翻转: 1, 7, -5, -12,9, 15   =>  1, -12, -5, 7, 9, 15
第二次翻转: -5, -12, 1, 7, 9, 15

此思路2果真解决了么?NO，用下面这个例子试一下，我们就能立马看出了漏洞：
1, 7, -5, -6， 9, -12, 15（此种情况未能处理）
1 7 -5 -6 -12 9 15
1 -12 -5 -6 7 9 15
-6 -12 -5 1 7 9 15   (此时，正负数之间的相对顺序已经改变，本应该是-5，-6，-12，而现在是-6 -12 -5)

1. 看来这个问题的确有点麻烦，不过我们最终貌似还是找到了另外一种解决办法，正如朋友超越神所说的：从后往前扫描，遇到负数，开始记录负数区间，然后遇到正数，记录前面的正数区间，然后把整个负数区间与前面的正数区间进行交换，交换区间但保序的算法类似（a,bc->bc,a）的字符串原地翻转算法。交换完之后要继续向前一直扫描下去，每次碰到负数区间在正数区间后面，就翻转区间。下面，将详细阐述此思路4。

思路5之区间翻转

    其实上述思路5非常简单，既然单个翻转无法解决问题，那么咱们可以区间翻转阿。什么叫区间翻转?不知读者朋友们是否还记得本blog之前曾经整理过这样一道题，微软面试100题系列第10题，如下：

10、翻转句子中单词的顺序。
题目：输入一个英文句子，翻转句子中单词的顺序，但单词内字符的顺序不变。句子中单词以空格符隔开。为简单起见，标点符号和普通字母一样处理。例如输入“I am a student.”，则输出“student. a am I”。而此题可以在O(N)的时间复杂度内解决：

    由于本题需要翻转句子，我们先颠倒句子中的所有字符。这时，不但翻转了句子中单词的顺序，而且单词内字符也被翻转了。我们再颠倒每个单词内的字符。由于单词内的字符被翻转两次，因此顺序仍然和输入时的顺序保持一致。
    以上面的输入为例：翻转“I am a student.”中所有字符得到“.tneduts a ma I”，再翻转每个单词中字符的顺序得到“students. a am I”，正是符合要求的输出(编码实现，可以参看此文：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/254111742007289205219/)。

    对的，上述思路3就是这个意思，单词翻转便相当于于区间翻转，既如此，咱们来验证下上述思路2中那个测试用例，如下：

1, 7, -5, -6， 9, -12, 15
1 7 -5 -6 -12 9 15
-12 -6 -5 7 1 9 15   (借用单词翻转的方法，先逐个数字翻转，后正负数整体原地翻转)
-5 -6 -12 1 7 9 15

 

思路5再次被质疑

    但是，我还想再问，问题至此被解决了么?真的被KO了么?NO，咱们来看这样一种情况，正如威士忌所说：

看看这个数据，+-+-+-+-+------+，假如Nminus 等于 n/2，由于前面都是+-+-+-，区间交换需要 n/2/2 = n/4次，每次交换是 T(2*(Nminus + Nplus)) >= T(n)，n/4 * T(n) = T(n*n/4)=O(n^2)。

    还有一种更坏的情况，就是+-+-+-+-+------+这种数据可能，后面一大堆的负数，前面正负交替。所以，咱们的美梦再次破灭，路漫漫其修远兮，此题仍然未找到一个完全解决了的方案。

 

公开征集本题思路

    下面公开征集解决思路：如果你能想到完全满足和符合题目三个条件的思路（不改变相对顺序&时间O(N)&空间O(1)），欢迎随时在本文下留言或评论，或者发至我邮箱：zhoulei0907@yahoo.cn。

    如果验证完全正确属实，或者要么你就证明在那三个条件下此题无解，当然，你若提出了本文内没有的思路，虽然严格论证下可能并不符合题目三个条件，但我将依然邀请您作为听众来参加读书会第2期(到场嘉宾可能包括为pongba，xlvector，penny，以届时现场为准)，再或者，你能指出本文文末updated部分：本题思路征集中的那些思路的不符要求与错误，也行，限前10位，额满为止。

 

    具体时间、场地待后续确定(微博上和本blog内会届时通知)。

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updated：本题思路征集中之一解一点评

      关于本题不改变正负数相对顺序重新排列数组，陆陆续续有不少朋友或发来了邮件，或在本文评论下提供了他们自己的思路或解法，思维理性碰撞，共同享受思考的乐趣，我觉挺有意思，精选其中一些解答贴出来，让大家评判、讨论，如下：

• 第1解：from Muqi：Hi July,

很高兴看到你的问题，真的很有意思！

我这里想到一种解法，主要的思路是通过改变数字内容来实现保留数字之间相对的顺序：

比方说数列 3 4 -1 -3 5 2 -7 6 1

那负数相对顺序是： -1 -3 -7， 正数是 3 4 5 2 6 1 

我们可以做变形：

 负数成为 -1.1 -2.3， -3.7 （整数部分为相对顺序，小数部分为原来的数字）

 同理 正数为： 1.3  2.4  3.5  4.2  5.6  7.1

现在数组变成： 1.3  2.4  -1.1  -2.3  3.5   4.2  -3.7  4.6  5.1

接下去 先通过置换把所有负数排到前面：具体方法为从前往后扫描数组，每碰到一个负数 就和数组最前面的正数交换， 结果如下：

   -1.1  -2.3  -3.7 2.4  3.5  4.2  1.3  4.6  5.1

可以看到负数部分已经完成题目要求（只需要把整数部分去掉即可），接下去对于正数数列 2.4  3.5  4.2  1.3  4.6  5.1， 也用类似的方法还原先前的顺序：具体方法为一次遍历每个数字，检查其整数部分是否与其所在的位置相同，如不相同，将该数字与位置为该数字整数部分的交换, 比如说2.4 整数部分为2，但是现在位于数列第一位，所以与位于第二位的3.5交换，得到：3.5  2.4  4.2  1.3  4.6  5.1（最多只需要O(n)因为每次交换都保证一个数字回到原来的位置，而总共有n个数字），最后和前面负数的处理相同，即去掉整数部分(+1，邀请来参加读书会第2期)。

    点评：但此方法在本文评论下马上有人指出：不过，整数变成浮点数，存储空间要扩大一倍，跟申请一个大小为n的数组一个道理，空间复杂度O(N)不符要求。更多请看本文评论下第18楼。(zj060607 & topskycen，+2)。

• 第2解：form 立宋(+7)：

July巨巨，
由于在csdn上那贴删改留言次数有点多，csdn不让留言了，就发邮件给您吧。应该是最终稿了。

稍微改动下Muqi的方法，可以得到平均时间O(n)，最坏时间O（n^2），空间复杂度O(1)的。当把负数放到数列前半部分操作时，这个负数是和前面的一个正数交换的。交换过后，把这个正数变成他的相反数(5变成-5这种)。那么当第一轮把负数放到前面过后，剩下的部分又形成了一个相同的子问题。当然，后面几轮把负数放到前面后，得把他们重新恢复成相应的正数。
还是用3 4 -1 -3 5 2 -7 6 1为例子：
第一轮： -1 -3 -7 [ -3 -4 2 -5 6 1].
第二轮： -1 -3 -7 -(-3) -(-4) -(-5) [-2 6 1].
第三轮： 1 3 7 3 4 5 2 6 1

最终添上-号，-1 -3 -7 3 4 5 2 6 1
平均时间复杂度（假设数组是随机的）：
T(n)=T(n/2)+O(n). T(n)=O(n).

如果遇到+++++...+-这种情况，就会导致最坏的时间复杂度。
这也不算是完美的解法。有点怀疑完美的解是不存在的，但不知道怎么证明。

谢谢，
mourisl

    点评：from litaoye：我的想法(见下文之综合点评)也许同上述解法2类似，但我确实没看明白解法2的操作过程，并且我认为解法2十有八九是错的。举个例子来说，如

 1,2,-4,-5,3,-6

-4,2,1,-5,3,-6

-4,-5,1,-2,3,-6

-4,-5,-6,-2,3,-1

这样的话-2同-1的顺序就乱了。更多请看本文评论下第29楼。

• 第3解：jiangbin00cn在其blog中提出了一种新的思路：假设全体数据为n个，正数m个分别映射到1--m,这m个数是分散分布在空间n中，利用桶排序使得其排列在n-m--n中，这个过程用到了桶排序的思想，只不过每个桶中只有一个元素。具体步骤如下：
  （1）桶排序能够在 时间O(N)，空间O(1) 实现，那么能否利用桶排序解决该问题，即如何将该问题转换为桶排序问题
  （2）通过可逆的修改元素使得数组满足桶排序要求
  （3）利用桶排序实现
  （4）恢复元素
  假设原数组中的全体正数按顺序依次为：a[0],...a[n]
  （a[0],a[1],....a[n]） = f(x) => （b[0],b[1],....b[n]）= g(x) => （0,1,....,n）  ==> 桶排序
    原始正数(可能相同)               （修改为全不相同正数）            
  （0,1,....,n） =g'(x)=> （b[0],b[1],....b[n]）=f'(x)=> （a[0],a[1],....a[n]）
                              可逆运算恢复数据               可逆运算恢复数据
  结论：
  由于桶排序能够在 时间O(N)，空间O(1) 实现，若可逆函数f(x)、g(x)能够在 时间O(N)，空间O(1)中找到并实现，那么就能够解决该问题(+3)。具体代码实现，请参见原文：http://blog.csdn.net/jiangbin00cn/article/details/7331387。然而，本文评论下第64楼有读者反应：这段桶代码段有问题 ，当查询的数字比如是1, 7, -5, -6， 9, -12, 15 这样没问题 但是 最后一个数字是负数 这个程序就死循环了 1, 7, -5, -6， 9, -12, 15 -16。

    点评：from 威士忌(+5)，jiangbin00cn和Muqi的方法都很取巧。其实他们的方法都是压缩了整数值域或者扩大值域来保存附加信息，虽然符合时间O(N)和空间O(1)的要求，但是并不适用所有int值。

    这些方法的思路其实很简单，比如：
num[] = {1,7,-5,9,-12,15};
pos[]={2,3,0,4,1,5};
pos的计算扫描2遍num数组即可，有了pos数组当然排序不成问题。
关键解决pos空间问题时，两位做法分别是，Muqi保存到double浮点域，jiangbin00cn是利用进制方法保存到int高位（其实根本不需桶排了），更明显的做法就是flag(num[i])*pos[i]*1000+num[i]转换为3007,-0005,-1012。

很高兴看到如此让人眼前一亮的方法，但是仔细想想的话，就觉得还是不符合要求。

• 第4解：from topskychen & acmerfight(+6)：

首先明确题目的题意要求空间复杂度是O(1),我的理解就是只能有一个空间来存储数据，其他的任何临时变量都不能出现，包括循环变量和临时开辟的空间（例如数字交换时）。

下边我的解法是在 允许自己输入数据，可以利用数组大小n的情况下产生的，只包含一个额外的变量。

用pos记录正数的最最左位置减一， a[pos]记录负数最右的位置加一

基本步骤：

1 让pos代表最后一个数据的位置

2 然后输入一个数据存储在最后的位置 a[pos]

3 如果输入的数据a[pos]是正数，我们就让pos = pos - 1；如果输入的是负数就把这个负数挪到前边，让a[pos]-1来记录负数最右的位置。

4 发生相应交换

代码在本文评论下第28楼。

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综合点评

1. from 威士忌，感觉最近的几种解法越来越倒退了，还不如之前nlogn 的来的有价值。
2. from litaoye：只想到了n*log(n)，O(1)的方法。双指针分别指向头和尾，头指针找到的正数同尾指针找到的负数交换，直到2个指针相遇。交换过程中将所有交换元素 * -1，也就是正数变负数，负数变正数。此时被换到尾部的正数（*-1后已经变为负数），顺序正好倒过来了，把这部分反转一下。整个过程O(n)，把原问题转化为两个规模为n/2的子问题。因此根据主定理，整个过程应当是nlog(n)的，即最坏情况下是n^2的，不过平均情况下也只是nlog(n)的，达不到O(n)。用迭代的方法写，应该可以做到O(1)（用递归，空间复杂度就是log(n)了），感觉这个问题很难找到O(n),O(1)的解法，类似的问题有完美洗牌问题，LZ可以看一下，解法比较复杂，是通过原根构造置换群来解的。本来还有个原地归并的思路，后来发现有问题，没有继续深入。
3. from sbwwkmyd：除非也能找到划分固定环的方法，一直没找到办法将原根的特性应用到这个问题上，完美洗牌问题 是这个问题的一个很小的子集。这个问题应该无解。
4. from July：有friends反应，算法导论第8章线性时间排序思考题8-2：以线性时间原地置换排序，是此题原型。说运行时间为O(n)、稳定、不使用额外空间原地排序，这3个条件中，三者只能满足其二，由此推出第27章此题无解?果真如此么?如何证明?此题作为面试题，能当场K掉99%的面试者/面试官。

    也有朋友反应，根据算导第8章中定理8.1：任意一个比较排序算法在最坏情况下，都需要nlgn次比较。即给定n个不同的输入元素，对于任何确定或随机的比较排序算法，其期望运行时间都有下界O(nlgn)。由此推出此题无解。但他们忽略了：不一定非要排序非要比较。

    也就是说，尽管：

1. 插入.归并.堆.快速排序皆是基于比较排序，且除归并排序外，皆是原地排序算法。
2. 堆/归并排序运行时间上界皆为O(nlgn)。
3. 计数排序非基于比较，非原地排序，但稳定，是基数排序算法的一个子过程。
4. 计数/基数等非原地(需借助外部空间)排序，空间换时间。

    但本题统统与这些无关，因为追根究底，本题实质性上只是一个排列，重新组合问题，与排序无关。

    更多还可参考此论文：《STABLE MINIMUM SPACE PARTITIONING IN LINEAR TIME》。待后续验证。