图的一因子

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Tutte 一因子  >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Tutte 一因子定理:

对于随意点集 S ∈V( G )，满足 o( G - S ) ≤ | S |。则 G 存在一因子。（ o代表分量中点数为奇数的分量个数 ）

证明:

必要性:

非常显然，若是 G 存在一因子。G - S 中的奇分量的个数必定要小于S的个数，不然 G - S 中的某个奇分量中的点得不到匹配。

充分性:

反证。如果 G 满足随意 S，o( G - S ) ≤ | S |，可是 G 不存在一因子。

可是在 G 中加入一条边变成 G*，会导致 G* 中的奇分量个数降低或者不变，o( G* - S ) ≤ o( G - S ) ≤ | S |。然后将 G* 变成满足 Tutte 定理，可是无一因子的极大图（ 即再加入一条边就能产生一因子 ）。

仅仅须要证明这时候 G* 确实存在一因子就可以。构造特殊点集 S，满足当中的点的度为 n( G ) - 1。

（能够为空集 ）

情况1: G - S 是全然图的并。

G - S 中的偶团，必定存在一因子。因为 o( G - S ) ≤ | S |。奇团中的无法得到匹配的点可以与 S 中的点得到匹配。那么已经匹配的点为偶数个。

S 中剩下的点数肯定是偶数，因为其度都为 n( G ) - 1。能匹配，若是S中剩下的点数为奇数，那么 G 的点数则为奇数，对于奇数点的 G 不可能满足图特条件。

情况2: G - S含有非全然图分量。

那么 G - S 中必定存在点 x 和点 y 不相交，x 和 y 同一时候邻接与点 w。可是 G - S 中必定还存在一点 z 与 w 不相邻，否则 w 的度则为 n( G ) - 1，就在S中了。

设 M1 为 G + xy 得到的一因子。M2 为 G + wz 得到的一因子。

F =  M1 Δ M2（ Δ为对称差。图的异或 ）。

F必定是孤立点和偶环组成的图

（ 偶环是由于同一个 G 的两个完美匹配的环合必定是偶环，且是不同完美匹配的边交错组成的 ）。设 C 是包括 xy 不包括 wz 的环，那么能够有  C 中不含 M1 的边和 C 外的 M2 组成一因子。若是 C 中同一时候包括 xy 和 wz ，

因为环中的边是不同完美匹配的边交错组成的，但是 xy 间 wz 仅仅有一边的距离。

那么xy 和 wz 应该实在一个M1或者M2 里面的，但是他们分别在 M1 和 M2 中。所以矛盾。

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Edmonds 偶阶图一因子 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Edmonds 偶阶图一因子定理：

一个偶阶图存在一因子当且仅当对于 V( G ) 的随意子集 S 都存在 G - S 的因子临界分支数（factor-critical component）小于 S 的大小。即 fc( G - S ) ≤ | S |.

证明：

必要性：

由于每一个因子临界分支都是奇分支，由 Tutte' 1-factor 可知其必要性。

充分性：

如果 G 不存在 1-factor，那么必定存在一个不为 ∅ 的子集 S。使得 o( G - S ) > | S |.

那么对于满足 o(G - S' ) ≤ | S' | , S₀  ⊂ S'⊆ V( G ) 的情况。选择其极大集合的S_0，

以下要证明 G -S₀中没有偶分支和 G - S₀ 中的每一个分支都是因子临界分支（fc( G - S₀ ) = o( G - S₀ )）。

如果存在一个偶分支 C，选择 C 的随意一点 v。对每个 T⊂ V( C - v ) 都有

|S₀ | + 1 + | T | 

≥ o( G - (S₀ ∪ { v } ∪ T ) ) 

= o( G -S₀ ) - 1 + o( G - ( { v } ∪ T ) )

> |S₀ | - 1 + o( ( C - v ) - T )

因此 o( ( C - v ) - T ) < | T | + 2 由 o( G - S ) + | S | ≡ V( G ) mod 2 可得 o( ( C - v ) - T ) ≤ | T |。

所以 C - v 存在一因子，所以 C 因子临界，fc( G - S₀ ) = o( G - S₀ ) > | S₀ |，与原本如果相矛盾。

<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<< Anderson 偶阶图一因子 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Anderson 偶阶图一因子：

对于阶数为 n 的偶阶图 G ，若对于满足 | S | ≤ ( 3 / 4 ) * n 的随意点集 S 有性质 | N_G ( S ) | ≥ ( 4 / 3 ) * | S |，则 G 有 1-factor。

证明：

若是 G 不存在 1-factor， 那么必定存在一个集合  S₀ 满足 o( G -S₀ ) > | S₀ |

case 1：| S₀ | ≥ n / 4

设 S = V( G ) -S₀  。则 | S | ≤ ( 3 / 4 ) * n ，则 | N_G ( S ) | ≥ ( 4 / 3 ) * | S |，

则有 ( 4 / 3 ) * ( n - | S₀ | ) ≤ | N_G ( G -S₀ ) | ≤ n - i( G -S₀ )，

得 i( G - S₀ ) ≤ ( 4 / 3 ) * | S₀ | - ( 1 / 3 ) * n.

由于 n ≥ | S₀ | + i( G -S₀ ) + 3 * ( o( G - S₀ ) - i( G - S₀ ) )，（认为资料上因果关系 thus 用的不太好）

所以 n > | S₀ | + 3 * | S₀ | - ( 8 / 3 ) * | S₀ | + ( 2 / 3 ) * n.

得 | S₀ | < ( 1 / 4 ) * n，矛盾。

case 2：| S₀ | < ( 1 / 4 ) * n

设 S = V( G ) - S₀  ，则 | S | > ( 3 / 4 ) * n。设 S' 为大小为 ( 3 / 4 ) * n 的 S 的子集。

| N_G ( S' ) | ≥ ( 4 / 3 ) * | S' | = n，所以 V( G ) ⊆ N_G ( S )，所以 S 与 G 中的全部点邻接。

G - S₀ 中无孤立点，由偶图中 o( G - S₀ ) ≡ | S₀ | mod 2，得到 G - S₀ 中至少有 S₀ + 2 个奇分量，

且每一个分量至少有 3 个顶点，在这些分量重去掉一个分量，设剩下的分量的顶点的并为 h。

则 h ≥ 3 * | S₀ | + 3，可是他们邻接的顶点至多为 h + | S₀ | ≤ h + ( 1 / 3 ) * ( h - 3 ) < ( 4 / 3 ) * h。

矛盾。