二叉树

1.二叉树的结点计算

1）在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点

    提示：可以用归纳法，假若第i层有至多2^i-1个结点，那么第i+1层至多就有2*2^i-1个结点。

2）深度为k的二叉树至多有2^k -1个结点。

    提示：考虑满二叉树的情况，所有结点求和。

3）有n个结点的完全二叉树的高度为

     提示：结合2），n<=2^h-1

4）结点编号

对于满二叉树或者完全二叉树，根节点编号为i，那么两个孩子结点的编号分别为2i,2i+1

2.二叉树的建立和遍历（递归方式）

// 二叉树.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;
typedef struct BiTreeNode 
{
   char data;
   BiTreeNode * leftTree;
   BiTreeNode * rightTree;
}bitTree,*BitTree;

void createTree(BitTree &Node)
{
   char ch;
   cin>>ch;
   if(ch=='#')
       Node=NULL ;  //注意，当输入为'#'时候 结点为NULL，刚开始一直坚持不出错误。
    else
    {
        Node=new bitTree; 
        if (!Node)
            return;
        Node->data = ch;
        createTree(Node->leftTree);
        createTree(Node->rightTree);
    }
}
//线序遍历
void Pre_visit(bitTree *t,int level)
{

   if(t)     //注意是if
    { 
        cout<<t->data<<" "<<level<<endl; 
        Pre_visit(t->leftTree,level+1); 
        Pre_visit(t->rightTree,level+1); 
    } 
}
//中序遍历
void Mid_visit(bitTree *t,int level)
{
    
    if(t) 
    { 
        
        Mid_visit(t->leftTree,level+1); 
        cout<<t->data<<" "<<level<<endl; 
        Mid_visit(t->rightTree,level+1); 
    } 
}


int main(int argc, char* argv[])
{
    //使用递归创建二叉树**************//
    cout<<"请输入数据："<<endl;
    bitTree * newTree=NULL;
    createTree(newTree);
    int level=1;
   // Pre_visit(newTree,level);
    Mid_visit(newTree,level);
    return 0;
}

试验中，特别要注意输入的方法：

结果如下：

3.二叉树的非递归遍历

先序遍历:

我们来通过代码和图进行

void pre_visit(bitTree *t)
 {
     bitTree *p=t;
     initStack(S);
     while(p!=NULL||Empty(S))
     {
         if (p!=NULL)
         {
             visit(p->data);    //visit可以将元素打印出来
             Push(S,p);         //保存访问的结点用来访问右结点，不然我们无法退回去访问右结点
             visit(p->leftTree)
         }
         else
         {
             p=Pop(S);          //弹出栈顶元素，并接下来访问弹出元素的右结点。
             p=p->rightTree;
         }
     }
 }

PS: 1)每次弹出一个元素就会访问改元素的右结点.

          2)visit是起着输出的作用。栈只是用来保存访问过的结点。

中序遍历:

void pre_visit(bitTree *t)
 {
     bitTree *p=t;
     initStack(S);
     while(p!=NULL||Empty(S))
     {
         if (p!=NULL)
         {
            Push(S,p);
            p=p->leftTree;
         }
         else
         {
             p=Pop(S);          
             visit(p->data);
             p=p->rightTree;
         }
     }
 }

  步骤:

(1) 首先将二叉树的根T压入栈.

(2) 若T有左子树,则一直将其压入栈中,直到结点左子树为空.

(3) 当其左子树为空,那么就弹出改结点,并visit 该结点data，然后再访问其右子树。