堆排序

二叉堆

 

二叉堆是完全二叉树或者近似完全二叉树。

 

1.大顶堆: 所有节点的子节点都比自身小的堆

2.小顶堆: 所有节点的子节点都比自身大的堆

 

一般用数组来表示堆，假设节点I是数组A中下标为i的节点

Parent(i)下标: (i-1)/2

Left(i)下标: 2*i + 1

Right(i)下标: 2*i + 2

含有N个元素的堆A的高度是: Floor(log<2>N)

 

堆排序

 

堆排序利用了大顶堆(或小顶堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特性，

使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字变得简单

 

在堆排序算法中，用得是大顶堆，小顶堆通常在构造优先级队列时使用

 

实际应用中，排序往往采用快排，而不是堆排，堆排主要用在优先级队列和top-K等问题上

 

其基本思想为(大顶堆)：

 

1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无序区；

2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，R[n]为数组中的最大值，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),有序区将收容最大值，次大值，依次进行，且满足R[1,2...n-1]<=R[n];

3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排序过程完成。

基本过程

1.将无序数组转换为一个大顶堆
2.将大顶堆的顶部元素与数组的最后一个元素交换
3.将交换后的堆调整为一个大顶堆
4.将堆顶与数组倒数第二个元素交换
5.重复以上过程，直至堆中只有一个元素

从上述过程可知，堆排序其实也是一种选择排序，是一种树形选择排序。只不过直接选择排序中，为了从R[1...n]中选择最大记录，需比较n-1次，然后从R[1...n-2]中选择最大记录需比较n-2次。事实上这n-2次比较中有很多已经在前面的n-1次比较中已经做过，而树形选择排序恰好利用树形的特点保存了部分前面的比较结果，因此可以减少比较次数。对于n个关键字序列，最坏情况下每个节点需比较log2(n)次，因此其最坏情况下时间复杂度为nlogn。堆排序为不稳定排序，不适合记录较少的排序。

javascript实现

function fHeapSort(arr) {
    //构建初始堆，将无序数组转化为堆
    var len = arr.length;
    //数组元素的顺序对应堆的从上到下，从左到右，因此前Math.floor(len / 2)个节点为非叶子节点，即堆顶，只需对所有堆顶完成调整即可
    //调整从后往前，即从最右下的堆顶开始调整，往左往上调整堆顶
    for (var i = Math.floor(len / 2); i--;) {
        fAdjustHeap(arr, i, len);
    }
    for (var i = len;i--;) {
        //将堆顶与数组的第i个元素交换
        var temp = arr[0];
        arr[0] = arr[i];
        arr[i] = temp;
        //交换后，重新构造大顶堆，构造大顶堆的起点一直的堆顶，但是长度却一直减小，只对无序区进行排序
        fAdjustHeap(arr, 0, i);
    }
    return arr;
}

function fAdjustHeap(arr, nParent, len) {
    //从父节点，左孩子，右孩子三个节点中选取最大者，与父节点交换，
    //对于子节点非孩子节点,与父节点交换后，其自身的大顶堆可能被破坏，
    //需要向下继续调整，直至到达堆边界，即叶子节点
    var temp = arr[nParent];
    //数组中的父节点的索引乘以2加1为其左孩子节点
    //如果发生交换，则其孩子堆也需要调整一次，找到其孩子堆的左孩子，步长为2*nChild+1，循环进行调整
    var nChild = 2 * nParent + 1;
    while (nChild < len) {
        //nChild + 1为右孩子节点,若右孩子大，则选择它
        if (nChild + 1 < len && arr[nChild] < arr[nChild + 1]) {
            nChild++;
        }
        //若父节点大，则无需交换，其孩子堆也无需调整，跳出循环
        if (temp >= arr[nChild]) {
            break;
        }
        //将大孩子赋值给父节点，由于上步是使用temp进行比较大小，相当于将temp与子节点进行交换，所以此处只需要将子赋值为父，不必将父与子交换
        arr[nParent] = arr[nChild];
        //parent跟着步长走,向下游走去，并逐级用大孩子覆盖父节点，直到父节点为大顶节点
        nParent = nChild;
        nChild = 2 * nParent + 1
    }
    //将最后的大顶节点与开始的调整节点交换
    arr[nParent] = temp;
}