soj 1099. Packing Passengers

题目大意：题目有多个测试样例。每个测试样例第一行为需要乘坐飞机的乘客总数n，第二行为使用一架飞机A的代价costA(简写成ca)和能够容纳的乘客数passengersA(简写成pa)，第三行为使用一架飞机B的代价costB(简写成cb)和能够容纳的乘客数passengersB(简写成pb).对每个测试样例求使用飞机A的数量x和飞机B的数量y的值，使得刚好能够容纳n个乘客，并且总代价最小。当存在多组(x, y)满足条件时，选择x最大的一组。当n为0时，输入结束。

解题思路：由题目得 pa * x + pb * y = n。根据裴蜀定理可得，若gcd(pa, pb)能够整除n，则存在整数对(x, y)满足条件（使用扩展欧几里得算法能够求得），反之则不存在解。x *= n / gcd(pa, pb), y *= n / gcd(pa, pb), 能够获得一组解。

通解X = x + pb / gcd(pa, pb) * t, Y = y - pb / gcd(pa, pb) * t.

运用题目条件：

由于X，Y >= 0，所以 (-x) / (pb/gcd(pa, pb))  <= t <= y / (pb/ gcd(pa, pb)).

此时，若确定t的值，即可确定X,Y的解。

根据题目条件：要使总代价最小，首选性价比最高的飞机。

1.若ca * pb <= cb * pa，则飞机A的性价比最高或者两者性价比相同，选择飞机A越多越好，即t越大越好。t取最大值。PS：最大值的下限。

2.若ca * pb > cb * pa, 则飞机B的性价比最高，选择飞机B越多越好，即t越小越好。t取最小值。PS：最小值的上限。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cmath>

typedef long long LL;

template <typename T>
T gcdEx(T a, T b, T * x, T *y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1, *y = 0;
        return a;
    } else {
        T r = gcdEx(b, a % b, x, y);
        T t = *x;
        *x = *y;
        *y = t - a / b * *y;
        return r;
    }
}
template <typename LL > LL gcdEx(LL a, LL b, LL *x, LL *y);

int main() {
    LL n, ca, cb, pa, pb;
    int N = 0;
    while (++N, scanf("%lld", &n), n) {
        scanf("%lld%lld%lld%lld", &ca, &pa, &cb, &pb);
        LL x, y;
        LL gcd = gcdEx(pa, pb, &x, &y);

        if (n % gcd != 0) {
            printf("Data set %d: cannot be flown
", N);
        } else {
            x *= n / gcd, y *= n / gcd;

            LL t;
            if (ca * pb <= cb * pa)
                t = floor((y + 0.0) / (pa / gcd));
            else
                t = ceil((-x + 0.0) / (pb / gcd));

            x += pb / gcd * t;
            y -= pa / gcd * t;
            printf("Data set %d: %lld aircraft A, %lld aircraft B
", N, x, y);
        }
    }
    return 0;
}

Reference :

• 裴蜀定理
• 扩展欧几里得算法
• 线性同余方程