Codeforces Round #177 (Div. 1 + Div. 2)

A. Polo the Penguin and Segments

• 模拟。

---

B. Polo the Penguin and Matrix

• 每个数字模d余数必须一样。
• 枚举结果，可计算操作次数，取最小。

---

C. Polo the Penguin and Strings

• ababab……cdef……
• 对于n、k分别为1时，需要特判。

---

D. Polo the Penguin and Houses

• 前k个暴力枚举，后n-k个每个可取个数为n-k。

---

E. Polo the Penguin and XOR operation

• 显然为了让结果尽量大，所以异或和应该和加法和接近。
• 观察样例可知，结果为n(n+1)，所以可猜测对于任意的n可构造出异或和n(n+1)的序列，即异或不存在两个1相消。
• xjb证明：对于n来说，假设二进制最高位为p，则(2^{p + 1} - 1 oplus n) 显然小于n；对于n-1来说(假设二进制最高位不变)，(2^{p+1}-1 oplus n - 1)会大于(2^{p+1} - 1 oplus n)。也就是([2^{p + 1}-1 oplus n, n])构成一个我们要的区间，而([1,2^{p + 1}-1 oplus n))则变成一个子问题。

---

D. Polo the Penguin and Trees

• 考虑每个点的贡献，把一个点挖掉后会形成若干棵子树，对于每个子树内的路径与经过当前点的路径必然不相交。

---

E. Polo the Penguin and Lucky Numbers

• 因为(l,r)没有前导0，即最后的幸运数字长度均为(|l|,|r|)。
• 将问题看成求([1,n])内(a_1a_2+a_2a_3+…+a_{n-1}a_n)的值。
• 长度为1时，幸运数字有4,7；
• 长度为2时，幸运数字有44,47,74,77;
• 记长度为(l)时，幸运数字有(a_{1}^{l},a_{2}^{l},…,a_{n}^{l})，那么长度为(l+1)时，新的幸运数字为(overline{a_{1}^{l}4},overline{a_{1}^{l}7},overline{a_{2}^{l}4},overline{a_{2}^{l}7}…,overline{a_{n}^{l}4},overline{a_{n}^{l}7})。此时是不考虑有上界的情况，有上界的情况时，最大值是前缀，且添加4、7时要根据下一位的值考虑，下一位是4时，最大值只能加4得到新的幸运数字，下一位是7时则相当于没有限制。
• 假设(F_i=sum_{i=1}^{K_i-1}{a_ia_{i+1}})，(K_i)表示幸运数字的个数。
• 当(时s_{i+1}=4时)$$F_{i+1}=sum_{i=1}^{{K_{i+1}-1}{A_iA_{i+1}}=sum_{i=1}}{K_i-1}{overline{a_i4}cdotoverline{a_i7}}+sum_{i=1}^{{K_i-1}{overline{a_i7}cdotoverline{a_{i+1}4}}=sum_{i=1}}{K_i-1}{(100a_i^{2+110a_i+28)}+sum_{i=1}}{K_i-1}{(100a_ia_{i+1}+40a_i+70a_{i+1}+28)}=100sum_{i=1}^{{K_i-1}{a_ia_{i+1}}+100sum_{i=1}}{K_i-1}{a_i^{2}+220sum_{i=1}}{K_i-1}{a_i}+70(a_{K_i}-a_1)+56(K_i-1)$$
• 当(s_{i+1}=7)时，只需要加上(overline{a_{K_i}7})这项即可。
• 为了得到(F_i)，需要维护和、平方和，两个值推导与上面的类似。