第十二周项目3-用递归方法求解（二）

编制递归函数fib(int n)返回第n个Fibnacci数，以此输出Fibnacci序列的第20个数

关于Fibnacci：

Fibnacci数列又称斐波那契数列和黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波纳契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

递推公式

斐波那契数列：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...[1] 
如果设F(n）为该数列的第n项（n∈N*），那么这句话可以写成如下形式：[1] 
显然这是一个线性递推数列。[1] 
通项公式


(如上，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。)
注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）
通项公式推导


方法一：利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：
　　X^2=X+1
　　解得
　　X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
　　则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
　　∵F(1)=F(2)=1
　　∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1　 
　　解得C1=1/√5，C2=-1/√5
　　∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等代数解法）
设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1， -rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……
F⑶-r*F⑵=s*[F⑵-r*F⑴]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F⑵-r*F⑴]。
∵s=1-r，F⑴=F⑵=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2）。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3）。
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F⑴。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1）。
（这是一个以s^(n-1）为首项、以r^(n-1）为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s）。
=(s^n - r^n)/(s-r）。
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
则F(n)=（√5/5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

方法三：待定系数法构造等比数列2（初等代数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3），求数列{an}的通项公式。
解 ：设an-αa(n-1)=β（a(n-1)-αa(n-2））。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x^2-x-1=0，解得α=(1-√5)/2，β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2，β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)`````````2。
由式1，式2，可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2，化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。

方法四：母函数法。
对于斐波那契数列{a(n)}，有a(1)=a(2)=1,a(n)=a(n-1)+a(n-2)(n>2时)
令S(x)=a(1)x+a(2)x^2+……+a(n)x^n+……。
那么有S(x)*(1-x-x^2)=a(1)x+[a(2)-a(1)]x^2+……+[a(n)-a(n-1)-a(n-2)]x^n+……=x
.因此S(x)=x/(1-x-x^2).
不难证明1-x-x^2=-[x+(1+√5)/2][x+(1-√5)/2]=[1-(1-√5)/2*x][1-(1+√5)/2*x].
因此S(x)=(1/√5)*{x/[1-(1+√5)/2*x]-x/[1-(1-√5)/2*x]}.
再利用展开式1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+……+x^n+……
于是就可以得S(x)=b(1)x+b(2)x^2+……+b(n)x^n+……
其中b(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}.
因此可以得到a(n)=b(n)==(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

运行代码：

/*
 *Copyright (c) 2014,烟台大学计算机学院
 *All gight reserved.
 *文件名称：temp.cpp
 *作者：邵帅
 *完成时间：2014年11月15日
 *版本号：v1.0
*/
#include<iostream>
using namespace std;
int fib(int n);
int main()
{
	cout<<fib(20)<<endl;
	return 0;
}
int fib(int n)
{
	int sum=0;
	if (n==1)
	return 0;
	else if (n==2)
	return 1;
	else
	{
  	sum=fib(n-1)+fib(n-2);
  	return sum;
	}
}

运行结果：

输入一个整数n，要求输出对应的二进制形式

二进制整数n转换为二进制的方法是“除2取余法”，即将n除以2后得到的余数，由后到前“串”起来，得到对应的二进制数，如图。

运行代码：

/*
 *Copyright (c) 2014,烟台大学计算机学院
 *All gight reserved.
 *文件名称：temp.cpp
 *作者：邵帅
 *完成时间：2014年11月15日
 *版本号：v1.0
*/
#include <iostream>
using namespace std;
void dec2bin(int n);
int main()
{
    int n;
    cout<<"请输入一个整数：";
    cin>>n;
    cout<<n<<"对应的二进制形式为：";
    dec2bin(n);
    cout<<endl;
    return 0;
}
void dec2bin(int n)
{
    int m;
    if (n==0)
        return;
    else
    {
        m=n%2;
        dec2bin(n/2);
        cout<<m;
    }
}

运行结果：

心得：关于递归函数的使用，真的是考验逻辑性的时候到了，不仅看到一个程序需要构建出它的运行方式，还要勾勒出它每一步的运行轨迹，才能正确的使用递归函数，最重要的，还是逻辑性吧。

@ Mayuko