[矩阵乘法] CF 1182 E.Product Oriented Recurrence

F_n = c^2n-6 * F_n-1 * F_n-2 * F_n-3，求 F_n .

推一下式子，变成 F_n * cⁿ = ( F_n-1 * c^n-1 ) * ( F_n-2 * c^n-2 ) * ( F_n-3 * c^n-3 )

记 T_n = F_n * cⁿ，就有 T_n = T_n-1 * T_n-2 * T_n-3 .

再推一下，T_n = T_n-2² * T_n-3² * T_n-4，

发现数列的指数是可以 ( a , b , c )   ----- >   ( b+a , c+a , a ) 递推的，

这个显然是可以矩阵乘法优化的，式子很容易推就不放了。

要注意的是矩阵乘法求出来的是指数，所以中间过程是对 p - 1 取模，

因为 a^t mod p = a^{t mod (p-1)} mod p，p为质数，a 和 p 互质 .

#include<bits/stdc++.h>
#define rep(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
#define rpd(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
#define rep1(i,x) for(register int i=head[x];i;i=nxt[i])
typedef long long ll;
const int N=10+5;
const ll Mod=1000000007LL;
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
ll n,f1,f2,f3,c0;ll a[N][N],f[N][N],ans[N][N],a1[N][N],b1[N][N],anss[N][N];
void work(ll a[N][N],ll b[N][N],ll c[N][N],int x,int y){
    rep(i,1,x)rep(j,1,3)a1[i][j]=a[i][j];
    rep(i,1,y)rep(j,1,3)b1[i][j]=b[i][j];
    rep(i,1,x)rep(j,1,y){
        ll sum=0;
        rep(t,1,3)(sum+=(a1[i][t]*b1[t][j])%(Mod-1LL))%=(Mod-1LL);
        c[i][j]=sum;
    }
}
void mul(ll now){
    while(now){
        if(now&1)work(a,f,f,3,3);
        work(a,a,a,3,3);
        now>>=1;
    }
}
ll pow(ll x,ll k){
    if(k==0)return 1LL;
    if(k==1)return x;
    ll t=pow(x,k/2LL);t*=t;t%=Mod;
    if(k&1)t*=x,t%=Mod;
    return t;
}
int main(){
    cin>>n>>f1>>f2>>f3>>c0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    rep(i,1,3)f[i][i]=1LL;
    a[1][1]=1LL;a[1][2]=1LL;a[1][3]=1LL;
    a[2][1]=1LL;a[2][2]=0;a[2][3]=0;
    a[3][1]=0;a[3][2]=1LL;a[3][3]=0;
    mul(n-4LL);
    ans[1][1]=ans[1][2]=ans[1][3]=1LL;
    memset(anss,0,sizeof(anss));
    work(ans,f,anss,1,3);
    rep(i,1,3)(f3*=c0)%=Mod;
    rep(i,1,2)(f2*=c0)%=Mod;
    rep(i,1,1)(f1*=c0)%=Mod;
    ll now=1LL;(now*=pow(f3,anss[1][1]))%=Mod;
    (now*=pow(f2,anss[1][2]))%=Mod;
    (now*=pow(f1,anss[1][3]))%=Mod;
    ll nows=pow(c0,n);nows=pow(nows,Mod-2LL);
    (now*=nows)%=Mod;
    printf("%lld
",now);
    //system("pause");
    return 0;
}