(2014天津)已知函数$f(x)=x-ae^x(ain R)$,有两个零点$x_1,x_2,(x_1<x_2)$
(1)求$a$的取值范围;
(2)证明:$dfrac{x_2}{x_1}$随着$a$的减小而增大;
(3)证明:$x_1+x_2$随着$a$的减小而增大.
分析:(1)(2)可以通过参变分离研究$y=dfrac{x}{e^x}$ 的图像,(如图)易得.
(3)由题意可知$ln x_1=x_1+ln a,ln x_2=x_2+ln a$相减得$lndfrac{x_2}{x_1}=x_2-x_1$
故齐次化得
egin{align*}
x_1+x_2 & =dfrac{lndfrac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}(x_1+x_2) \
&xlongequal{
m frac{x_2}{x_1}=t>1}dfrac{(1+t)ln t}{t-1}=g(t)\
end{align*}
$g^{'}(t)=dfrac{-2ln t+t-frac{1}{t}}{(t-1)^2}gedfrac{-2*frac{t-1}{sqrt{t}}+t-frac{1}{t}}{(t-1)^2}=dfrac{(sqrt{t}-1)^2}{t(t-1)}ge0$
(这里用到了放缩$ln xle dfrac{x-1}{sqrt{x}})$
故$x_1+x_2$随$t$的增大而增大,结合(2)知$x_1+x_2$随$a$的减小而增大