(2018浙江高考压轴题)
已知函数$f(x)=sqrt{x}-ln x.$
(2)若$ale 3-4ln 2,$证明:对于任意$k>0$,直线$y=kx+a$ 与曲线$y=f(x)$有唯一的公共点.
分析：等价于$k=dfrac{sqrt{x}-ln x-a}{x}$有唯一解.记$g(x)=dfrac{sqrt{x}-ln x-a}{x}$,则$g^{'}(x)=dfrac{ln x-dfrac{sqrt{x}}{2}-1+a}{x^2}$,
记$h(x)=ln x-frac{sqrt{x}}{2}-1+a$,则$h^{'}(x)=dfrac{4-sqrt{x}}{4x}$,故$h(x)$在$(0,16)$单调递减$(16,+infty)$单调递增.
所以$h(x)_{max}=h(16)=ln(16)-3+ale0$,所以$g^{'}(x)<0$,即$g(x)$单调递减.又$limlimits_{x
ightarrow0}(dfrac{sqrt{x}-ln x-a}{x})= +infty,limlimits_{x
ightarrow+infty}(dfrac{sqrt{x}-ln x-a}{x})=0$,故$k>0$时$y=k$与$g(x)=dfrac{sqrt{x}-ln x-a}{x}$有且只有一个交点.
注:这里$ale 3-4ln 2$的条件可以考虑$f(x)=sqrt{x}-ln x.$的二阶导数的拐点$f^{''}(x)=-dfrac{1}{4}x^{frac{3}{2}}+x^{-2}=0$得拐点为$x=16$,求拐点处的切线方程:$y=dfrac{1}{16}x+3-4ln2$.
考虑$f(x)$的图像,当$ale3-4ln2$时,对于任意$k>0$,直线$y=kx+a$ 与曲线$y=f(x)$有唯一的公共点.
练习:若对任意$a>0$,函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$在开区间$(-infty,0)$内有且仅有一个零点,则实数$b$的取值范围_____
提示:只需考虑$y=ax+b$与$y=-x^2-dfrac{1}{x}$图像交点，考虑拐点处切线方程:$y=3x+3$分析$y=-x^2-dfrac{1}{x}$图像,易得$ble3$
注:无非就是$bge3$或者$ble3$，从图像中看若$bge3$，可以取$b$足够大，显然当$a>0$时可以有两个交点,故只有一个交点时$ble3$
