已知向量$ extbf{a}, extbf{b}$满足:$| extbf{a}|=| extbf{b}|=1, extbf{a}cdot extbf{b}=dfrac{1}{2}, extbf{c}=(m,1-m), extbf{d}=(n,1-n),(m,nin R)$,
存在$ extbf{a}, extbf{b}$,对于任意的实数$m,n$,不等式$| extbf{a}- extbf{c}|+| extbf{b}- extbf{d}|ge T$ 恒成立,则$T$的取值范围_____
解析:设$ extbf{a}=overrightarrow{OA}, extbf{b}=overrightarrow{OB}, extbf{c}=overrightarrow{OC}, extbf{d}=overrightarrow{OD}$,
由题意$A,B$在单位圆上运动,且$angle AOB=dfrac{pi}{3}$.$C,D$在$x+y-1=0$上运动.
由题意只需$Tle maxlimits_{A,B}{minlimits_{C,D}{|AC|+|BD|}}$.
方法一:几何意义,先固定$A,B$,则$ACperp CD,BDperp CD$时取得$minlimits_{C,D}(|AC|+|BD|)$,
再取$A,B$中点$M$;$C,D$ 中点$N$,故$minlimits_{C,D}(|AC|+|BD|)=2|MN|$,作$OEperp CD$,连接$OM$,则当$A,B$动起来时$MNle OM+OE=dfrac{sqrt{3}+sqrt{2}}{2}$,故$Tle sqrt{3}+sqrt{2} $
方法二:设$A(cos heta,sin heta),B(cos( heta+dfrac{pi}{3}),sin( heta+dfrac{pi}{3})),$
设$d=dfrac{|cos heta+sin heta-1|}{sqrt{2}}+dfrac{|cos( heta+dfrac{pi}{3}+sin( heta+dfrac{pi}{3})-1|}{sqrt{2}}$
题目转换为存在$ heta$对$Tle d $成立,即$Tle d_{max}$
$$dfrac{|cos heta+sin heta-1|}{sqrt{2}}+dfrac{|cos( heta+dfrac{pi}{3}）+sin( heta+dfrac{pi}{3})-1|}{sqrt{2}}=dfrac{1}{sqrt{2}}*max$$
egin{equation*}
{|cos heta+sin heta+cos( heta+frac{pi}{3})+sin( heta+frac{pi}{3})-2|,|cos heta+sin heta-cos( heta+frac{pi}{3})-sin( heta+frac{pi}{3})| }
end{equation*}
$$=dfrac{max{|sqrt{6}sin( heta+phi_1)-2|,|sqrt{2}sin( heta+phi_2)|}le sqrt{3}+sqrt{2}}{sqrt{2}}$$
即$Tlesqrt{3}+sqrt{2}$