已知 $r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k$ 表示投 k 次投中的概率.)
求证:(1)是否存在$n_0$使得$r_{n_0}=0.5$
(2)是否存在$n_1$使得$r_{n_1}=0.8$
分析:假设$r_1<0.8,r_2<0.8cdots,r_{n_0}<0.8,r_{n_1}ge0.8$ (第一次很重要)
$r_{n_0}=dfrac{m_0}{n_0}<0.8,( extbf{其中} m_0 extbf{表示前} n_0 次投球中投中的次数),故5m_0<4n_0$
得$5(m_0+1)le4(n_0+1)$,即$dfrac{m_0+1}{n_0+1}ledfrac{4}{5}$
$ herefore extbf{一定存在}r_{n_1}=0.8,( extbf{其中}n_1=n_{0}+1), extbf{否则},r_{n_0+1} extbf{无论是}$
$dfrac{m_0}{n_0+1} extbf{还是}dfrac{m_0+1}{n_0+1} extbf{都小于}dfrac{4}{5} extbf{与}r_{n_1}ge0.8 extbf{矛盾}.$