尺规作图

前言

相关定义

尺规作图（Compass-and-straightedge construction）是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本，最常用的尺规作图，通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

基本作图

以下是最基本最常用的尺规作图，需要重点理解和掌握；

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

经典操作

九大经典操作，需要重点理解和掌握；

（1）题目一：作一条线段等于已知线段。

已知：如图，线段\(a\).

求作：线段\(AB\)，使\(AB\)=\(a\).

作法：

①.作射线\(AP\)；

②.在射线\(AP\)上截取\(AB=a\).

则线段\(AB\)就是所求作的图形。

（2）题目二：作已知线段的垂直平分线。

已知：如图，线段\(MN\).

求作：线段\(PQ\)，使\(PQ\perp MN\)且\(PQ\)平分线段\(MN\).

作法：

①. 分别以\(M\)、\(N\)为圆心，大于\(\cfrac{1}{2}MN\)的相同线段为半径画弧，两弧相交于\(P\)，\(Q\)；

②. 连接\(PQ\)交\(MN\)于\(O\)．

则线段\(PQ\)就是所求作的\(MN\)的垂直平分线。

（3）题目三：作已知角的角平分线。

已知：如图，已知\(\angle AOB\)，

求作：射线\(OP\)，使\(\angle AOP=\angle BOP\)，（即\(OP\)平分\(\angle AOB\)）。

作法：①.②.③.④.⑤.

①.以\(O\)为圆心，任意长度为半径画弧，分别交\(OA\)，\(OB\)于\(M\)，\(N\)；

②.分别以\(M\)、\(N\)为圆心，大于\(\cfrac{1}{2}MN\)的线段长为半径画弧，两弧交\(\angle AOB\)内于\(P\)；

③.作射线\(OP\)。

则射线\(OP\)就是\(\angle AOB\)的角平分线。

（4）题目四：作一个角等于已知角。

已知：如图，已知\(\angle AOB\)，

求作：\(\angle A'O'B'\)，使得\(\angle AOB=\angle A'O'B'\)，

作法：

①.作射线\(O'A'\)；

②.以\(O\)为圆心，任意长度为半径画弧，交\(OA\)于\(M\)，交\(OB\)于\(N\)；

③.以\(O'\)为圆心，以\(OM\)的长为半径画弧，交\(O'A'\)于\(M'\)；

④.以\(M'\)为圆心，以\(MN\)的长为半径画弧，交前弧于\(N'\)；

⑤.连接\(O'N'\)并延长到\(B'\)。

则\(\angle A'O'B'\)就是所求作的角。

（5）题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。

已知：如图，\(P\)是直线\(AB\)上一点。

求作：直线\(CD\)，使得\(CD\)经过点\(P\)，且\(CD\perp AB\)。

作法：

①.以\(P\)为圆心，任意长为半径画弧，交\(AB\)于\(M\)、\(N\)；

②.分别以\(M\)、\(N\)为圆心，大于\(\cfrac{1}{2}MN\)的长为半径画弧，两弧交于点\(Q\)；

③.过\(D\)、\(Q\)作直线\(CD\)。

则直线\(CD\)是求作的直线。

（6）题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线

已知：如图，直线\(AB\)及直线外一点\(P\)。

求作：直线\(CD\)，使\(CD\)经过点\(P\)，且\(CD\perp AB\)。

作法：

①.以\(P\)为圆心，以大于点\(P\)到直线\(AB\)的距离为半径画弧，交\(AB\)于\(M\)、\(N\)；

②.分别以\(M\)、\(N\)圆心，大于\(\cfrac{1}{2}MN\)的长为半径画弧，两弧交于点\(Q\)；

③.过\(P\)、\(Q\)作直线\(CD\)。

则直线\(CD\)就是所求作的直线。

（7）题目七：已知三边作三角形。

已知：如图，线段\(a\)，\(b\)，\(c\).

求作：\(\triangle ABC\)，使\(AB=c\)，\(AC=b\)，\(BC=a\).

作法：

①.作线段\(AB=c\)；

②.以\(A\)为圆心，以\(b\)为半径作弧，以\(B\)为圆心，以\(a\)为半径作弧与前弧相交于\(C\)；

③.连接\(AC\)，\(BC\)。

则\(\triangle ABC\)就是所求作的三角形。

（8）题目八：已知两边及夹角作三角形。

已知：如图，线段\(m\)，\(n\), \(\angle\alpha\).

求作：\(\triangle ABC\)，使\(\angle A=\angle\alpha\) ，\(AB=m\)，\(AC=n\).

作法：

①.作\(\angle A=\angle\alpha\)；

②.在\(AB\)上截取\(AB=m\)，\(AC=n\)；

③.连接\(BC\)。

则\(\triangle ABC\)就是所求作的三角形。

（9）题目九：已知两角及夹边作三角形。

已知：如图，\(\angle\alpha\)，\(\angle\beta\)，线段\(m\).

求作：\(\triangle ABC\)，使\(\angle A=\angle\alpha\)，\(\angle B=\angle\beta\)，\(AB=m\).

作法：

①.作线段\(AB=m\)；

②.在\(AB\)的同旁作\(\angle A=\angle\alpha\)，作\(\angle B=\angle\beta\)，\(\angle A\)与\(\angle B\)的另一边相交于\(C\)。

则\(\triangle ABC\)就是所求作的三角形。

典例剖析

如图:107国道\(OA\)和320国道\(OB\)在某市相交于点\(O\)，在\(\angle AOB\)的内部有工厂\(C\)和\(D\)，现要修建一个货站\(P\)，使\(P\)到\(OA\)、\(OB\)的距离相等且\(PC\)\(=\)\(PD\)，用尺规作出货站\(P\)的位置(不写作法,保留作图痕迹:写出结论).

分析：本题目就是求作\(\angle AOB\)的角平分线和线段\(CD\)的垂直平分线的交点；

三条公路两两相交，交点分别为\(A\)，\(B\)，\(C\)，现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离相等，问滿足要求的加油站地址有几种情况？

分析：本题目就是求作内角的角平分线的交点(或三角形的内心)和外角的角平分线的交点；

由于\(\triangle ABC\)内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，则\(\triangle ABC\)内角平分线的交点满足条件；

如图：点\(P\)是\(\triangle ABC\)两条外角平分线的交点，过点\(P\)作\(PE⊥AB\)，\(PD⊥BC\)，\(PF⊥AC\)，

由于\(PE=PF\)，\(PF=PD\)，则有\(PE\)\(=\)\(PF\)\(=\)\(PD\)，

所以点\(P\)到\(\triangle ABC\)的三边的距离相等，

所以\(\triangle ABC\)两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有\(3\)个；

综上，到三条公路的距离相等的点有\(4\)个，故可供选择的地址有\(4\)个．