数值优化（五）

共轭梯度方法

线性共轭梯度方法

线性共轭梯度方法可以用来解线性方程$$Ax=b$$其中A是正定的对称阵。这个问题等价于求解$$Phi(x)=frac{1}{2} x^TAx-bTx$$的无约束优化问题。向量({p_0,p_1,cdots,p_i})称作关于正定矩阵A相互共轭，当$$p_i^TAp_j=0 quad forall i eq j$$在(mathbb{R}^n)中给定一个初值点(x_0)和一组共轭方向({p_i})，就可以生成一个点列$$x_{k+1}=x_k+alpha_k p_k$$ (alpha_k)是在(p_k)方向上的最优点，有闭式解$$alpha_k = -frac{r_k^T p_k}{p_k^T A p_k}$$这样的迭代步骤在最多n次后就会收敛到最优点(即线性方程的解)。关于这个事实，有如下正交情况的示意图：

关于这一点，还有一个结论：

共轭方向

现在只需要生成一组共轭方向就可以应用上述的共轭梯度法，共轭方向的生成有多种方法，但是如果利用了共轭向量的性质，就可以只通过前一个共轭向量的信息来求解下一个共轭向量，使得在大规模问题中可以大幅度减少空间以及时间花费。具体的:$$p_k = -r_k + eta_{k} p_{k-1}$$(其中(r_k=Ax_k-b= abla f_k))选取(beta_k)使得(p_k)与(p_{k-1})共轭，就可以证明(p_k)也和之前的所有向量共轭。(eta_k)易于得到闭式解$$eta_k = frac{r_k^T A p_{k-1}}{p_{k-1}^T A p_{k-1}}$$

到此，CG算法已经完整了，再利用下述定理，可以将算法进一步优化：

得到CG-Algorithm(Practical Form)