水手分椰子——迭代法、递归解题

题目内容：

n(1< n <=5)个水手在岛上发现一堆椰子，先由第1个水手把椰子分为等量的n堆，还剩下1个给了猴子，自己藏起1堆。然后，第2个水手把剩下的n-1堆混合后重新分为等量的n堆，还剩下1个给了猴子，自己藏起1堆。以后第3、4个水手依次按此方法处理。最后，第n个水手把剩下的椰子分为等量的n堆后，同样剩下1个给了猴子。请用迭代法编程计算并输出原来这堆椰子至少有多少个,n的值要求从键盘输入。若输入的n值超出要求的范围，程序输出”Error!”。

提示：分成的等量的堆数应该与水手的数量一致.

程序运行结果示例1：
Input n(1 < n <= 5):
5↙
y=3121.
程序运行结果示例2：
Input n (1 < n <= 5):
7↙
Error!

输入提示信息： “Input n(1 < n <= 5): ”
输入格式: “%d”
输出格式：”y=%d ”
输入错误提示信息：”Error! ”

这是一道著名的数学问题，解题通式为:
y=a(a/m)n-1 －db/c
y ── 被分的椰子的总个数.
a ── 每次分的份数,
n ── 总共分的次数.
b ── 每次分a份后的余数.
c ── 每次分a份后拿走的份数.
d ── 每次分a份后拿走c份后,剩下再分的份数.
m── (a/d)的最大公约数.

迭代法实现

思路：

1. 假设现在有五个人分一堆椰子，那么每个人都会分一次椰子，我们可以得知人数就是分椰子的次数
2. 假设第一个人还没分的时候椰子总共有y1个，那么第一个人分了之后，椰子总数y2=(y1-1)*(4/5)；如果已知y2求y1，那么y1=(y2*5)/4+1。
3. 我们知道椰子都是一个一个的，这就说明椰子数量是整数，判断一个数是否是符合条件，我们仅需要判断每次它被分之后是不是整数就ok。
4. 为减少时间复杂度，我们选择还原数量的方式迭代，设一个循环，循环变量为分了n次之后每一份的椰子数量，向上还原，判断还原n层的过程中每次椰子的数量仍然是否是整数，如果不是，继续外层循环，直到找到一个数能够进行n次内层循环为止。

程序代码(C语言)：

#include<stdio.h>

int main()
{
    int i, j, total, n;
    printf("Input n(1<n<=5):
");
    scanf("%d", &n);
    if (n <= 1 || n > 5)
    {
        printf("Error!
");
    }
    else
    {
        i = 1;
        while(1)
        {
            total = i;
            for(j = 0; j < n; j++)
            {
                total = total * 5;
                if(total % 4 != 0)
                {
                    break;
                }
                total = total / 4;
                total += 1;
            }
            if(j == n)
            {
                break;
            }
            i++;
        }
        printf("y=%d
", total);
    }
    return 0;
}

递归实现

思路：

写一个函数模拟分椰子操作，传入分的椰子数量和分的人数，判断椰子数量是否足够支持到最后一个人分完，如果能返回一个真值，如果不能返回一个假值。

程序代码(C语言)：

#include <stdio.h>
int divide(int n, int m);
static int people;
int main()
{
    int i;
    int n;
    printf("Input n(1<n<=5):
");
    scanf("%d", &n);
    people = n;
    if (n <= 1 || n > 5)
    {
        printf("Error!
");
    }
    else
    {
        for (i = 1; ; i++)
        {
            if (divide(i, n))
            {
                printf("y=%d
", i);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int divide(int n, int m)
{
    if (n / people == 0 || n % people != 1)
        return 0;
    if (m == 1)
        return 1;
    return divide(n - n / people - 1, m - 1);
}