P3195 [HNOI2008]玩具装箱 题解

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P3195 [HNOI2008]玩具装箱

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一道比较模板的斜率优化题目

先写出转移方程

(F[i])表示前(i)个已经装箱完毕的最优解,(S[i])表示前(i)项(C[i]+1)的和，

[F[i]=F[j]+(S[i]-S[j]+L+1)^2(j≤i) ]

用(L+1)代替(L)比较好处理，于是方程变成

[F[i]=F[j]+(S[i]-S[j]+L)^2(j≤i) ]

我们要把式子变化成(kx+b)的形式，

要注意：移项要遵循的原则是：把含有 (function(i) ast function(j)) 的表达式看作斜率 $k $乘以未知数 (x)，含有 (F[i]) 的项必须要在(b)的表达式中，含有(function(j)) 的项必须在(y)的表达式中。如果未知数(x) 的表达式单调递减，最好让等式两边同乘个(−1)，使其变为单增。

[F[i]=F[j]+(S[i]-S[j]+L)^2(j≤i) ]

[F[i]=F[j]+(S[i])^2+2 ast S[i]ast S[j] -2 ast S[i]ast L +(S[j]+L)^2 ]

[(2ast S[i])ast S[j]+F[i]-(S[i])^2+2 ast S[i] ast L=F[j]+(S[j]+L)^2 ]

这里的(k=(2ast S[i]))，(x=S[j]) ，(b=S[j]+F[i]-(S[i])^2+2 ast S[i] ast L)，(y=F[j]+(S[j]+L)^2)

考虑到我们目标直线的(k=2 ast S[i])是不断递增的，凸包上的斜率也是不断递增的，就想到用单调队列来维护。

要注意一个细节，初始的时候(Q)要给(0)，不能给(S[1])，否则就认为(1)号必须单独装了

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=50005;
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
LL N,L,hed=1,til,Q[maxn],S[maxn],dp[maxn];
inline LL X(LL j){return S[j];}
inline LL Y(LL j){return dp[j]+(S[j]+L)*(S[j]+L);}
inline long double calc(LL i,LL j){return (long double)(Y(i)-Y(j))/(X(i)-X(j));}
int main(){
	freopen("P3195.in","r",stdin);
	freopen("P3195.out","w",stdout);
	N=read();L=read()+1;
	for(int i=1;i<=N;i++)S[i]=S[i-1]+read()+1;
	Q[++til]=0;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		while(hed<til&&calc(Q[hed],Q[hed+1])<=2*S[i])++hed;
		int j=Q[hed];dp[i]=dp[j]+(S[i]-S[j]-L)*(S[i]-S[j]-L);
		while(hed<til&&calc(Q[til-1],Q[til])>=calc(Q[til],i))--til;
		Q[++til]=i;
	}
	printf("%lld
",dp[N]);
	return 0;
}