P4528 [CTSC2008]图腾 题解

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P4528 [CTSC2008]图腾

Solve

一道非常好的思维题。

直接统计非常难，需要用类似容斥的想法优化一道

最后的答案

(=1324-1432-1243)

(=(1x2x-1423)-(14xx-1423)-(12xx-1234))

(=1x2x-14xx-12xx+1234)

(=1x2x-1xxx+13xx+1234)

（(x)表示排名任意，但是不能重复）

于是我们思考如何算出(1x2x,1xxx,13xx,1234)

先预处理几个数组(L_i,R_i)

(L_i=sum_{j<i}[y_j<y_i],R_i=sum_{j>i}[y_j<y_i])，用树状数组维护出来就好了

接下来看分别怎么求

1xxx

比较简单，对于每个(i)后面三个数乱取，就是(sum C_{n-i-R_i}^3)

1234

枚举(3)后面的个数就是(n-i-R_i),如果(2)的位置确定了，那么(1)的方案数就是(L_j)，所以答案就是(sum_{i} (n-i-R_i)(sum_{j<i,y_j<y_i}L_j))

用树状数组来维护

1x2x

先枚举(2)的位置(i)，那右边有(n-i-R_i)中方法，左边我们假设(1)的位置为(j)，(2)的位置为(k)

左边要满足(j<k<i,y_j<y_i,y_k>y_i)

若只考虑(y_j<y_i,j<i,k<i)，方案数是(L_i*(i-1))

那么就多算了(j<k,y_k<y_ij)和(j≥k)的方案

(j<k,y_k<y_ij)的方案数是(C_{L_i}^2)

(k≤j)，对于每个(j)，(k)的取值范围都是([1,j])，所以就是(sum_{p<i,y_p<y_i}p)

用树状数组维护

13xx

枚举(3)，那么(4)有(n-i-R_i)种选法，(1,2)满足(j<i<k,y_j<y_k<y_i)

若只考虑(y_j<y_i,y_k<y_i,j<i)那么有(L_i ast(y_i-1))种选法，需要减去(k≤i)和(y_j>y_k)的方案数

(k≤i)是(C_{L_i}^2)

(y_kleq y_j),对于每个(j),(k)的取值都可以取到所有(y<y_j)的位置，每个(k)的取值范围为([1,p[j]])所以就是(sum_{p<i,y_p<y_i}y_p)

用树状数组维护

此题非常灵活的运用了树状数组，是个好题，好好看好好学，

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn=200005;
const LL TT=16777216;
LL p[maxn],L[maxn],R[maxn],c[maxn],ans,N;
inline int read(){
	int ret=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
	while(ch<='9'&&ch>='0')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
	return ret*f;
}
void add_x(int x,LL data){
	for(int i=x;i<=N;i+=i&-i)c[i]=(c[i]+data)%TT;
	return ;
}
int get(int x){
	LL S=0;
	for(int i=x;i;i-=i&-i)S=(S+c[i])%TT;
	return S;
}
int main(){
	freopen("P4528.in","r",stdin);
	freopen("P4528.out","w",stdout);
	N=read();
	for(int i=1;i<=N;i++)p[i]=read();
	for(int i=1;i<=N;i++)L[i]=get(p[i]),R[i]=p[i]-L[i]-1,add_x(p[i],1);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		LL x=N-i-R[i];
		ans=(ans-(x*(x-1)*(x-2)/6)%TT+TT)%TT;//1xxx
	}
	memset(c,0,sizeof c);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		ans=(ans+(N-i-R[i])*get(p[i])%TT)%TT;//1234
		add_x(p[i],L[i]);
	}
	memset(c,0,sizeof c);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		ans=(ans+(L[i]*(i-1)-get(p[i])-(L[i]-1)*L[i]/2)*(N-i-R[i])%TT+TT)%TT;//1x2x
		add_x(p[i],i);
	}
	memset(c,0,sizeof c);
	for(int i=1;i<=N;i++){
		ans=(ans+(L[i]*(p[i]-1)-(L[i]-1)*L[i]/2-get(p[i]))*(N-i-R[i])%TT+TT)%TT;//13xx
		add_x(p[i],p[i]);
	}
	printf("%lld
",ans);
	return 0;
}