1. Vector （向量 / 矢量）
1.1 基础回顾
- 向量表示方式为 (vec{a}) 或者 (oldsymbol{a})
- 向量长度 (|vec{a}|)
- 单位向量表示方式为：(hat{a}=vec{a} /|vec{a}|)
- 向量表示采用笛卡尔坐标(Cartesian Coordinates)，例如
(mathbf{A}=left(egin{array}{l}x \ yend{array} ight) quad mathbf{A}^{T}=(x, y) quad|mathbf{A}|=sqrt{x^{2}+y^{2}})
注意，一般默认向量为列向量。
1.2 向量相乘
1.2.1 点乘
- 定义：
(vec{a} cdot vec{b}=|vec{a}||vec{b}| cos heta)
(cos heta=frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|})
- 性质
(vec{a} cdot vec{b}=vec{b} cdot vec{a})
(vec{a} cdot(vec{b}+vec{c})=vec{a} cdot vec{b}+vec{a} cdot vec{c})
((k vec{a}) cdot vec{b}=vec{a} cdot(k vec{b})=k(vec{a} cdot vec{b}))
- 计算示例
(vec{a} cdot vec{b}=left(egin{array}{l}x_{a} \ y_{a}end{array} ight) cdotleft(egin{array}{l}x_{b} \ y_{b}end{array} ight)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b})
- 用途
1） 计算投影
2） 判断两个向量是否同向
点乘结果>0就表示基本同向，=1表示方向完全一致。
1.2.2 叉乘
- 定义
(a imes b=-b imes a)
(|a imes b|=|a||b| sin phi)
使用右手法则。
叉乘不满足交换律。
- 用途
1）生成坐标轴
(vec{x} imes vec{y}=+vec{z})
(vec{y} imes vec{x}=-vec{z})
(vec{y} imes vec{z}=+vec{x})
(vec{z} imes vec{y}=-vec{x})
(vec{z} imes vec{x}=+vec{y})
(vec{x} imes vec{z}=-vec{y})
2）判定左 / 右 或者 内 / 外
比如一直坐标系由XYZ组成，然后现在想判断向量b是在a的左边还是右边，之需要求出(vec{x} imes vec{y})可以知道与(vec{z})同向，所以b在a左边。
(vec{AP})始终在三条有向边(vec{AB},vec{BC},vec{CA})的同一侧(左侧)，所以p点在三角形内侧。
注意：三角形三条边的向量必须首尾相连，所以如果我们把下面三角形的三条边向量换一个方向，但是因为最后可以算出AP都在三条边的右侧，即同一侧，所以P点在三角形内侧。
2. Matrix (矩阵)
矩阵在图形学里常用于表示变换(Transformations),比如 translation,rotation,shear,scale等。
矩阵相乘运算
(left(egin{array}{ll}1 & 3 \ 5 & 2 \ 0 & 4end{array} ight)left(egin{array}{llll}3 & 6 & 9 & 4 \ 2 & 7 & 8 & 3end{array} ight)=left(egin{array}{cccc}9 & ? & 33 & 13 \ 19 & 44 & 61 & 26 \ 8 & 28 & 32 & ?end{array} ight))
以右边那个8为例，可以看到它是第三行第一列，所以直接找到左边矩阵的第三行，即 ([0\,\,4])，和右边矩阵第一列 ([3\,\,2]^T),然后做点积即可求得为8.
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性质
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((mathrm{AB}) mathrm{C}=mathrm{A}(mathrm{BC}))
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(A(B+C)=A B+A C)
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((mathrm{A}+mathrm{B}) mathrm{C}=mathrm{AC}+mathrm{BC})
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矩阵转置：((A B)^{T}=B^{T} A^{T})
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对角矩阵：只有对角线上有非零元素
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单位矩阵：对角线上全为1的对角矩阵
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矩阵的逆：
- (A A^{-1}=A^{-1} A=I)
- ((A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1})
矩阵乘法转化成矩阵形式
- 点积
- 叉乘
(vec{a} imes vec{b}=A^{*} b=left(egin{array}{ccc}0 & -z_{a} & y_{a} \ z_{a} & 0 & -x_{a} \ -y_{a} & x_{a} & 0end{array} ight)left(egin{array}{l}x_{b} \ y_{b} \ z_{b}end{array} ight))
注意 ： A*b的*不表示乘法