ZOJ Problem Set–1489 2^x mod n = 1

Time Limit: 2 Seconds      Memory Limit: 65536 KB

---

Give a number n, find the minimum x that satisfies 2^x mod n = 1.

Input

One positive integer on each line, the value of n.

Output

If the minimum x exists, print a line with 2^x mod n = 1.

Print 2^? mod n = 1 otherwise.

You should replace x and n with specific numbers.

Sample Input

2
5

Sample Output

2^? mod 2 = 1
2^4 mod 5 = 1

---

Author: MA, Xiao
Source: ZOJ Monthly, February 2003

这道题看起来描述是够少的，我就喜欢这种题目，本人英文不是很好。。。。

题目非常清晰，就是要求2的X次方除以N的余数为1时的X的值。刚看到这道题目的时候，我不假思索的就认为，这种题目通过表驱动的方式是一个很好的办法，于是我就想着先打一张2的32次方的表格，然后每次求结果的时候只要遍历这张表就可以了，于是就有了下述代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int NUM = 32;
int *pow2 = new int[NUM]; 
void initial2Pow()
{
  *pow2 = 1;
  for(int i = 1; i < NUM; i++)
    *(pow2 + i) = 2*(*(pow2 + i - 1));
}
int main()
{
  initial2Pow();
  int n;
  while(cin>>n)
  {
    if(n%2 == 0 || n < 2)
    {
      cout<<"2^? mod "<<n<<" = 1"<<endl;
      continue;
    }
    bool find = false;
    for(int i = 1;i < NUM;i++)
    {
      if((*(pow2 + i))%n == 1)
      {
        cout<<"2^"<<i<<" mod "<<n<<" = 1"<<endl;
        find = true;
        break;
      }
    }
    if(!find)
    {
      cout<<"2^? mod "<<n<<" = 1"<<endl;
    }
  }
}

感觉代码比较简练，可以提交了，但是已提交却得到了WA！这时，我意识到可能是由于精度问题，int 的32位可能不够，于是我用64 位 long long 来代替int，重新提交之后，仍然得到WA !这时我发现，这题其实还是不是那么简单的！至少不应该仅仅是简单的表驱动来解决这个问题。还是需要一些数学技巧的。首先我把计算过程用笔写在了之上：

a / b = c …………..d，此时等式两边乘以2，得到2a / b = 2c ……. 2d, 此时发现，2a % b得到的余数，与2d%b的余数是一样的！

若2d / b = c0…..d0, 则有2a / b = 2c + c0 …….d0, 有了这些数学的推论后，修正代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
  int n;
  while(cin>>n)
  {
    if(n%2 == 0 || n < 2)
    {
      cout<<"2^? mod "<<n<<" = 1"<<endl;
      continue;
    }
    bool find = false;
    int d = 1;
    for(int i = 1;;i++)
    {
      d *= 2;
      if(d%n == 1)
      {
        cout<<"2^"<<i<<" mod "<<n<<" = 1"<<endl;
        find = true;
        break;
      }
      d = d%n;
    }
    if(!find)
    {
      cout<<"2^? mod "<<n<<" = 1"<<endl;
    }
  }
}

成功AC !