计算机的基本原理(Week 1)
第一次数学危机
公元前500年,毕达哥拉斯学派,他们相信数是万物的本源:一切数均可表示成整数或者整数之比
然而毕达哥拉斯证明了勾股定理,某些直角三角形的三边比不能用整数表达
希帕索斯悖论:边长为1的正方形,对角线?
危机的缓解:比例论,使用几何方法避开无理数
危机的解决:实数理论的建立
第二次数学危机
微积分:牛顿和莱布尼兹,建立在**无穷小****分析之上
贝克莱悖论:无穷小一会儿是0,一会儿不是0,像一个幽灵~
危机的缓解:重建实数理论
新的问题:魏尔斯特拉斯给出了一个处处不可微的连续函数➡直观&几何思考不可靠
第三次数学危机
集合论:康托尔建立,一切数学成果可建立在集合论基础上
罗素悖论:S由一切不是自身元素的集合所组成,S是否属于S?
哥德尔不完备性定理:把数学彻底形式化的愿望是不可实现的
问题:如何判断问题可计算or不可计算?
解决思路:为计算建立一个数学模型(计算模型),它能够完成的就是可计算的——图灵机
图灵与图灵机
1936年,《论可计算数在判定问题中的应用》提出了理想的计算机数学模型——图灵机(Turing Machine)
图灵机的构成
一条存储带:其上有一个个小方格,可存储一个数字or字母
一个控制器:包含一个读写头(读or写or改),可接受程序语句,可存储&改变自身状态,可沿着存储带移动
图灵机如何工作
准备:存储带初始化、控制器置于起始并设置好自身状态、准备好程序
执行过程:读字母or数字、根据状态和字符找到对应的程序语句、执行三个动作(写入字母or数字、变更自身状态、左右移)
停机:表示计算完毕,存储带上即为计算结果
图灵机的理论意义
特点:简单,强大,可实现
意义:可实现的通用计算模型,引入了通过读写符号和状态改变进行运算的思想,证实了基于简单字母表完成复杂运算的能力,引入了存储区、程序、控制器等概念的原型
计算机为什么能计算
计算机中数的表示——二进制
十进制转为二进制:除以二的商取余数,”触底反弹“
二进制转为八进制和十六进制:卡3位/4位
计算机中数的计算——布尔运算
基本逻辑运算:与、或、非
复合逻辑运算:同或、异或等
二进制加法:本位是异或运算,进位是与运算——半加器
半加器进行组合,一个半加器的输出作为另一个半加器的输入——全加器