常见的排序算法（四）：归并排序

　　归并排序（英语：Merge sort，或mergesort），是创建在归并操作上的一种有效的排序算法，效率为 O(n·log n)。和快速排序一样，该算法是采用分而治之（Divide and Conquer）的思想，也是一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。

　　采用分治法：

• 分割：递归地把当前序列平均分割成两半。
• 归并：在保持元素顺序的同时将上一步得到的子序列集成到一起（归并）。

　　归并操作（merge），指的是将两个已经排序的序列合并成一个序列的操作，归并排序依赖归并操作。仔细观察下面归并排序的过程

归并排序代码如下：

    static void merge_sort_recursive(int[] arr, int[] result, int start, int end) {
        if(start>=end)
            return;
        int len = end - start, mid = (len >> 1) + start; //二进制位运算法`>>`，mid是指
        int start1 = start, end1 = mid;
        int start2 = mid + 1, end2 = end;

        merge_sort_recursive(arr, result, start1, end1);//先拆左边
        merge_sort_recursive(arr, result, start2, end2);//再拆右边

        int k = start;
        //拆完后治(排序)，比较大小
        while(start1 <= end1 && start2 <= end2) {
            result[k++] = arr[start1] < arr[start2] ? arr[start1++]:arr[start2++];
        }
        //合并
        while(start1 <= end1) {
            result[k++] = arr[start1++];
        }
        while (start2 <= end2) {
            result[k++] = arr[start2++];
        }
        for(k = start;k <= end; k++) {
            arr[k] = result[k];
        }
    }

    public static void merge_sort(int[] arr) {
        int len = arr.length;
        int[] result = new int[len];
        merge_sort_recursive(arr, result, 0, len - 1);
    }

　　该算法使用了递归，思想是一直把数组分成两段，直至分成只有一个数，然后两段开始比较且开始合并，并复制到另外一个数组中。它的递归操作就像一个二叉树，处理完左边的子节点（☞分的段）才开始处理右节点，处理右节点时也是先处理左节点，然后再处理右节点，就是这样一个过程。该算法额外占用了一个相同大小的空数组，因而空间复杂度为O(n)。从下面这个递归树可以看出，第一层时间代价为cn，第二层时间代价为cn/2+cn/2=cn.....每一层代价都是cn，总共有logn+1层，所以总的时间代价为cn*(logn+1)，时间复杂度为O(n·logn)。

　　这里，合并排序是一种递归算法，时间复杂度可以表示为一下递归关系：

　　　　T(n) = 2·T(n / 2) + θ(n)

　　其递归的解是 θ(n·logn)。合并排序的时间复杂度在三种情况下（最好、最坏、平均） 均为 θ(n·logn)，因为合并排序始终将数组分为两半，并花费线性时间来合并两半。

　　下面的图是递归树，利用它来理解递归的时间复杂度问题，它将问题对半递归分解为子问题，树高为 logn，每一层的成本为 cn，最后叶子节点处理成本为 c，总的成本为 c·n·logn + cn，所以这是一个 O(n·logn) 级别的算法。

测试代码如下：

    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {8, 4, 5, 7, 1, 3, 6, 2};

        merge_sort(arr);

        System.out.println(Arrays.toString(arr));
    }

结果如下：