进制转换的知识

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进制学习

原文链接：https://www.cnblogs.com/ds-3579/p/5246142.html

进制转换的内容，即十进制，二进制，八进制，十六进制之间的相互转换。

一、基础内容

十进制：有十个基数 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 

二进制：逢二进一，借一为二。

           基数为0,1

八进制：逢八进一，借一为八。

           基数为0,1,2,3,4,5,6,7

十六进制：逢十六进一，借一为十六。

           基数为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)

二、转换方法

1、十进制与其他进制（二、八、十六）

十进制→ 二进制：十进制数除以二，除至0后，所得余数按照反方向写出即可。(如图所示)

 

十进制→ 八进制：十进制数逐次整除八，直至商为0，所得余数按照反方向写出即可。

（同理，把上图中2换成8计算即可）

十进制→ 十六进制：十进制数逐次整除十六，直至商为0，所得余数按照反方向写出即可，但要注意10及其以上的数字用字母A-F表示。

（同理，把上图中2换成16计算即可）

2、其他进制（二、八、十六）与十进制

注意：a---m方向为从右到左

二进制→十进制：a×2⁰＋b×2¹+c×2²+d×2³+…….+m×2^(n-1)

例如：将二进制的(101011)转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 1 x 2^0 = 1；

2. 第1位 1 x 2^1 = 2；

3. 第2位 0 x 2^2 = 0；

4. 第3位 1 x 2^3 = 8；

5. 第4位 0 x 2^4 = 0；

6. 第5位 1 x 2^5 = 32；

7. 读数，把结果值相加，1+2+0+8+0+32=43

二进制位数（从右到左）	第一位	第二位	第三位	第四位	第五位	第六位	第七位	第八位
对应的2的次方	2^0	2^1	2^2	2^3	2^4	2^5	2^6	2^7
对应结果	1	2	4	8	16	32	64	128

八进制→十进制：a×8⁰＋b×8¹+c×8²+d×8³+…….+m×8^(n-1)

例如：将八进制的(53)转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 3 x 8^0 = 3；

2. 第1位 5 x 8^1 = 40；

3. 读数，把结果值相加，3+40=43（8）

八进制位数（从右到左）	第一位	第二位	第三位	第四位	第五位	第六位	第七位	第八位
对应的8的次方	8^0	8^1	8^2	8^3	8^4	8^5	8^6	8^7
对应结果	1	8	64	512	4096	32768	262144	2097152

十六进制→十进制：a×16⁰＋b×16¹+c×16²+d×16³+…….+m×16^(n-1)

例：将十六进制的(2B)转换为十进制的步骤如下：

1. 第0位 B x 16^0 = 11；

2. 第1位 2 x 16^1 = 32；

3. 读数，把结果值相加，11+32=43（16）

十六进制位数（从右到左）	第一位	第二位	第三位	第四位
对应的16的次方	16^0	16^1	16^2	16^3
对应结果	1	16	256	4096

3、其他进制之间的转换

二进制→八进制:对于整数，采用从右到左每三位一组，不够三位的在其左边补齐0，每组单独转换出来即可。

例如：转换二进制数 1110101010100 那么分组为
001 110 101 010 100 按照转换方法对应转换
  1    6    5    2    4
所以 1110101010100(2) = 16524(8)

八进制→二进制：将每位八进制由三位二进制数代替即可。

二进制与八进制编码对应表：

二进制	八进制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

二进制→十六进制：此时分组为从右到左每 4 位二进制数为一组进行转换

例如：转换二进制 0101010100101011010，分组：
0010 1010 1001 0101 1010
   2     A      9      5      A
所以0101010100101011010(2) = 2A95A(16)

十六进制→二进制：将每位十六进制由四位二进制数代替即可。

二进制和十六进制的互相转换比较重要。不过这二者的转换却不用计算，每个C，C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十六进制，反之亦然。

首先我们来看一个二进制数:1111，它是多少呢?

你可能还要这样计算:1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 + 1 * 2 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

然而，由于1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，:8、4、2、1。即，最高位的权值为2^3 = 8，然后依次是 2^2 = 4，2^1=2， 2^0 = 1。

记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

仅四位的二进制数	快速计算方法	十进制值	十六进制值
1111	8+4+2+1	15	F
1110	8+4+2+0	14	E
1101	8+4+0+1	13	D
1100	8+4+0+0	12	C
1011	8+0+2+1	11	B
1010	8+0+2+0	10	A
1001	8+0+0+1	9	9
……
0001	0+0+0+1	1	1
0000	0+0+0+0	0	0

4、下面是二、八、十、十六进制之间关系的结构图：

5、几个进制之间的对应关系：