求斐波那契数，你还在用递归吗？

1、什么是斐波那契数？

• 斐波那契数，又称黄金分割数列、因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……
  
• 斐波那契数，通常用 F(n) 表示，形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

    F(0) = 0,  
    F(1) = 1
    F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
    给定 N，计算 F(N)。

2、经典解法-递归

根据题意，我们可以用递归求解。

    public int fib(int N) {
        if (N < 2) {
            return N;
        }
        return fib(N-1) + fib(N-2);
    }

但是这个是最好的解法吗？

• 假如我们要计算的N为10，我们要先计算fib(9),再计算fib(8);
• 计算fib(9), 要计算fib(8)和fib(7),如此递归下去
• 计算fib(8), 要计算fib(7)和fib(6),如此递归下去

发现什么问题没？

• 越往小了算，重复计算越多, 时间效率n的n次方，不可想象
• fib(30)耗时 4毫秒
• fib(50)耗时 62秒
• fib(100)耗时（1h没结果，停了）

那有没有其它的好办法呢？

• 你发现没有我们用递归是从大到小计算，从fib(N)到fib(N-1)...fib(0)
• 但是我们fib(N)不知道结果，我们只知道fib(0)和fib(1)
• 我们可不可以试着从小到大计算

3、动态规划

我们尝试从小往大推演，把计算结果保存下来，避免重复计算，这种方法一般称之为动态规划。

    public int fib(int N) {
        if (N < 2) {
            return N;
        }
        int[] cache = new int[N+1];
        cache[0] = 0;
        cache[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2];
        }
        return cache[N];
    }

• 上面的代码： cache[i] = cache[i-1] + cache[i-2]称之为动态规划公式
• 时间效率n, 遍历一次即可
• 空间效率n，缓存n个数据
• 空间效率还可以改进

4、动态规划改进

• 我们用m代表fib(n-2), n代表fib(n-1), o代表fib(n)
• 每次计算结束再重置 m 和 n

    public int fib(int N) {
        if (N < 2) {
            return N;
        }
        int m = 0, n = 1;
        for (int i = 2; i <= N; i++) {
            int o = n + m;
            m = n;
            n = o;
        }
        return n;
    }

• 时间效率n, 遍历一次即可
• 空间效率3
• 还有一种数学解法，有兴趣的可以自己去了解