【算法设计与分析】5个数7次比较排序的算法

【算法设计与分析】5个数7次比较排序的算法
找到最快的算法，一直是计算机界的目标之一，而排序就是其中最基本的算法。什么样的排序才是最快的呢？

1.最少的比较次数，算法理论证明n个数排序，如果是基于比较的算法，至少需要㏒(n!) 向上取整数。下面给出小数目下，最少比较次数：

n 1 2 3 4 5 6 7 8

㏒(n!) 0 1 3 5 7 10 13 16

2.移动次数最少，根据群论置换群理论，n个数的序列，变换到这n个数组成另一个序列，一定可以在最多n次移动内做到。

在理论的指引下，人们开始寻找这些传说中的极限。人们开始简单地完成了n=1,2,3,4的极限算法，但是当n=5时，人们长期停留在了8次比较。但是在1956年，H.B.Demuth在终于首先找到5个次7次比较的排序方法，并在他的博士论文中进行了阐述。下面就是对这个算法的C语言实现：
[cpp] view plain copy
1. /* 1956年H.B.Demuth找到的5个数7次的比较方法，后来Lester Ford,Selmer Johnson归并插入排序中使用*/
3. /********************************************************************
4. * 示意图如下 *
5. * *
6. * [0] [1] 排序得 [0]<=[1] *
7. * [2] [3] 排序得 [2]<=[3] *
8. * [1] [3] 排序得 [1]<=[3] *
9. * 此时有关系：[0]<=[3],,[2]<=[1]<=[3] *
10. * *
11. * [1] [4] *
12. * _______|_______ *
13. * | | *
14. * [1]<=[4] [1]>[4] *
15. * ___|___ ___|___ *
16. * | | | | *
17. * [0]<=[1] [0]>[1] [2]<=[4] [2]>[4] *
18. * ① ② ③ ④ *
19. * *
20. * 情况①：[0][2]比较一次，[3][4]比较一次，即可确定顺序 *
21. * 情况②：[0][4]比较一次，[0]<=[4]则[3][4]再比较一次 *
22. * 情况③：[0][4]比较一次，[0]<=[4]则比较[0][2],否则比较[0][1] *
23. * 情况④：[0][2]比较一次，[0]<=[2]则比较[0][4],否则比较[0][1] *
24. * *
25. * 伪代码如下： *
26. * SORT([0],[1]); *
27. * SORT([2],[3]); *
28. * SORT([1],[3]); *
29. * IF [1]<=[4] *
30. * IF [0]<=[1] *
31. * IF [0]<=[2] *
32. * IF [3]<=[4] ① *
33. * ELSE ② *
34. * ELSE *
35. * IF [3]<=[4] ③ *
36. * ELSE ④ *
37. * ELSE *
38. * IF [0]<=[4] *
39. * IF [3]<=[4] ⑤ *
40. * ELSE ⑥ *
41. * ELSE ⑦ *
42. * ELSE *
43. * IF [2]<=[4] *
44. * IF [0]<=[4] *
45. * IF [0]<=[2] ① *
46. * ELSE ② *
47. * ELSE *
48. * IF [0]<=[1] ③ *
49. * ELSE ④ *
50. * ELSE *
51. * IF [0]<=[2] *
52. * IF [0]<=[4] ⑤ *
53. * ELSE ⑥ *
54. * ELSE *
55. * IF [0]<=[1] ⑦ *
56. * ELSE ⑧ *
57. * 共15种情形，针对每种情形都可以有最佳移动顺序 0-8次,平均4.5次 *
58. ********************************************************************/
61. /*比较[0][1]*/
62. if( arr[0] > arr[1])
63. swap(arr[0],arr[1]);
64. /*比较[2][3]*/
65. if( arr[2] > arr[3])
66. swap(arr[2],arr[3]);
67. /*比较[1][3]*/
68. if( arr[1] > arr[3])
69. swap(arr[1],arr[3]);
72. if( arr[1] <= arr[4] )
73. {
74. if( arr[0] <= arr[1])
75. {
76. if( arr[0] <= arr[2] )
77. {
78. if( arr[3] <= arr[4] )
79. { /* ① 正确顺序为：[0][2][1][3][4]*/
80. swap(arr[1],arr[2]);
81. return 0;
82. }
83. else/*②正确顺序为：[0][2][1][4][3]*/
84. {
85. swap(arr[1],arr[2]);
86. swap(arr[3],arr[4]);
87. return 0;
88. }
89. }
90. else/* arr[3] >= arr[1] >= arr[0] > arr[2] */
91. {
92. if( arr[3] <= arr[4])/*③正确顺序为：[2][0][1][3][4]*/
93. {
94. int temp = arr[2];
95. arr[2] = arr[1];
96. arr[1] = arr[0];
97. arr[0] = temp;
98. return 0;
99. }
100. else/*④正确顺序为：[2][0][1][4][3]*/
101. {
102. int temp = arr[2];
103. arr[2] = arr[1];
104. arr[1] = arr[0];
105. arr[0] = temp;
106. swap(arr[3],arr[4]);
107. return 0;
108. }
109. }
110. }
111. else/* arr[1]<= arr[4] && arr[0] > arr[1] */
112. {
113. if( arr[0] <= arr[4])
114. {
115. if( arr[3] <= arr[4])/* ⑤正确顺序为[2][1][0][3][4]*/
116. {
117. swap(arr[0],arr[2]);
118. return 0;
119. }
120. else/* ⑥正确顺序为[2][1][0][4][3]*/
121. {
122. swap(arr[0],arr[2]);
123. swap(arr[3],arr[4]);
124. return 0;
125. }
126. }
127. else/* ⑦正确顺序为[2][1][4][0][3]*/
128. {
129. int temp = arr[4];
130. arr[4] = arr[3];
131. arr[3] = arr[0];
132. arr[0] = arr[2];
133. arr[2] = temp;
134. return 0;
135. }
136. }
138. }
139. else/* arr[1] > arr[4] */
140. {
141. if( arr[2] <= arr[4] )/* [2][4][1][3]*/
142. {
143. if( arr[0] <= arr[4] )
144. {
145. if( arr[0] <= arr[2])/*①正确顺序为[0][2][4][1][3]*/
146. {
147. int temp = arr[4];
148. arr[4] = arr[3];
149. arr[3] = arr[1];
150. arr[1] = arr[2];
151. arr[2] = temp;
152. return 0;
153. }
154. else/*②正确顺序为[2][0][4][1][3]*/
155. {
156. int temp = arr[4];
157. arr[4] = arr[3];
158. arr[3] = arr[1];
159. arr[1] = arr[0];
160. arr[0] = arr[2];
161. arr[2] = temp;
162. return 0;
163. }
164. }
165. else
166. {
167. if( arr[0] <= arr[1] )/*③正确顺序为[2][4][0][1][3]*/
168. {
169. int temp = arr[4];
170. arr[4] = arr[3];
171. arr[3] = arr[1];
172. arr[1] = temp;
173. swap(arr[0],arr[2]);
174. return 0;
175. }
176. else/*④正确顺序为[2][4][1][0][3]*/
177. {
178. int temp = arr[4];
179. arr[4] = arr[3];
180. arr[3] = arr[0];
181. arr[0] = arr[2];
182. arr[2] = arr[1];
183. arr[1] = temp;
184. return 0;
185. }
186. }
187. }
188. else/* [4][2][1][3] */
189. {
190. if( arr[0] <= arr[2] )
191. {
192. if( arr[0] <= arr[4] )/*⑤正确顺序为[0][4][2][1][3]*/
193. {
194. int temp = arr[4];
195. arr[4] = arr[3];
196. arr[3] = arr[1];
197. arr[1] = temp;
198. return 0;
199. }
200. else/*⑥正确顺序为[4][0][2][1][3]*/
201. {
202. int temp = arr[4];
203. arr[4] = arr[3];
204. arr[3] = arr[1];
205. arr[1] = arr[0];
206. arr[0] = temp;
207. return 0;
208. }
209. }
210. else
211. {
212. if( arr[0] <= arr[1] )/*⑦正确顺序为[4][2][0][1][3]*/
213. {
214. int temp = arr[4];
215. arr[4] = arr[3];
216. arr[3] = arr[1];
217. arr[1] = arr[2];
218. arr[2] = arr[0];
219. arr[0] = temp;
220. return 0;
221. }
222. else/*⑧正确顺序为[4][2][1][0][3]*/
223. {
224. int temp = arr[4];
225. arr[4] = arr[3];
226. arr[3] = arr[0];
227. arr[0] = temp;
228. swap(arr[1],arr[2]);
229. return 0;
230. }
231. }
232. }
233. }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lzhitian/p/2380947.html

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