bzoj 2956: 模积和 ——数论

Description

　求∑∑((n mod i)*(m mod j))其中1<=i<=n,1<=j<=m,i≠j。

Input

第一行两个数n,m。

Output

　　一个整数表示答案mod 19940417的值

Sample Input

3 4

Sample Output

1

样例说明
答案为(3 mod 1)*(4 mod 2)+(3 mod 1) * (4 mod 3)+(3 mod 1) * (4 mod 4) + (3 mod 2) * (4 mod 1) + (3 mod 2) * (4 mod 3) + (3 mod 2) * (4 mod 4) +

 (3 mod 3) * (4 mod 1) + (3 mod 3) * (4 mod 2) + (3 mod 3) * (4 mod 4) = 1
数据规模和约定
　　对于100%的数据n,m<=10^9。

————————————————————————————————

$这道题space 就很复杂QAQ$
$我们先不考虑 i==j 的情况 $
$题目等价于 sum _{i=1} ^n n-lfloor frac{n}{i} floor*i$
$可以转换为 n^2-sum _{i=1} ^n lfloor frac{n}{i} floor*i$
$现在我们可以来考虑i==j的情况了 $
$这个东西我们可以变成 sum_{i=1}^ {k=min(n,m)} (n-lfloor frac{n}{i} floor *i)*(m-lfloor frac{m}{i} floor)$
$我们可以把他拆出来$

$变成k*n*m-msum_{i=1}^k lfloor frac{n}{i} floor*i-nsum_{i=1}^k lfloor frac{m}{i} floor*i + sum_{i=1}^k lfloor frac{n}{i} floor *lfloor frac{m}{i} floor$

$这样就可以AC辣 $

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
using std::min;
const int mod=19940417,P=3323403;
int read(){
    int ans=0,f=1,c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){ans=ans*10+(c-'0'); c=getchar();}
    return ans*f;
}
LL n,m;
LL calc(LL n,LL k){
    LL ans=0;
    for(LL L=1,R=1;L<=k;L=R+1) R=min(k,n/(n/L)),ans=(ans+(L+R)*(R-L+1)/2%mod*(n/L))%mod;
    return ans;
}
LL F(LL x){return x*(x+1)%mod*(2*x+1)%mod*P%mod;}
int main(){
    n=read(); m=read();
    LL ans=(n*n-calc(n,n))%mod*((m*m-calc(m,m))%mod)%mod,k=min(n,m);
    ans=(ans-k*n%mod*m)%mod;
    ans=(ans+m*calc(n,k))%mod;
    ans=(ans+n*calc(m,k))%mod;
    for(LL L=1,R=1,s0=0,s1;L<=k;L=R+1){
        R=min(m/(m/L),n/(n/L)); 
        R=min(R,k); 
        s1=F(R);
        ans=(ans-(n/L)*(m/L)%mod*(s1-s0))%mod;
        s0=s1;
    }
    printf("%lld
",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}

Tips 求类似 $sum _{i=1} ^n lfloor frac{n}{i} floor*i$

我们可以利用程序内calc的写法就可以辣2333