POJ2115C Looooops

转载请注明出处：優YoU    http://user.qzone.qq.com/289065406/blog/1309394009

 

大致题意：

对于C的for(i=A ; i!=B ;i +=C)循环语句，问在k位存储系统中循环几次才会结束。

若在有限次内结束，则输出循环次数。

否则输出死循环。

 

解题思路：

题意不难理解，只是利用了 k位存储系统 的数据特性进行循环。

例如int型是16位的，那么int能保存2^16个数据，即最大数为65535（本题默认为无符号），

当循环使得i超过65535时，则i会返回0重新开始计数

如i=65534，当i+=3时，i=1

其实就是 i=(65534+3)%(2^16)=1

 

有了这些思想，设对于某组数据要循环x次结束，那么本题就很容易得到方程：

x=[(B-A+2^k)%2^k] /C

即 Cx=(B-A)(mod 2^k)  此方程为 模线性方程，本题就是求X的值。

 

下面将结合《算法导论》第2版进行简述，因此先把上面的方程变形，统一符号。

令a=C  

  b=B-A 

  n=2^k

那么原模线性方程变形为：

 ax=b (mod n)

该方程有解的充要条件为 gcd(a,n) | b ，即 b% gcd(a,n)==0

令d=gcd(a,n)

有该方程的 最小整数解为 x = e (mod n/d)

其中e = [x0 mod(n/d) + n/d] mod (n/d) ，x0为方程的最小解

那么原题就是要计算b% gcd(a,n)是否为0，若为0则计算最小整数解，否则输出FOREVER

 

当有解时，关键在于计算最大公约数 d=gcd(a,n) 与 最小解x0

参考《算法导论》，引入欧几里得扩展方程  d=ax+by ，

通过EXTENDED_EUCLID算法（P571）求得d、x、y值，其中返回的x就是最小解x0，求d的原理是辗转相除法（欧几里德算法）

再利用MODULAR-LINEAR-EQUATION-SOLVER算法（P564）通过x0计算x值。注意x0可能为负，因此要先 + n/d 再模n/d。

以上方法的推导过程大家自己看《算法导论》。。。这里不证明，只直接使用。

 

注意：

计算n=2^k时，用位运算是最快的，1<<k （1左移k位）就是2^k

但是使用long long的同学要注意格式， 1LL<<k

使用__int64的同学要强制类型转换 (__int64)1<<k

不然会WA

 

 

Source修正：

CTU Open 2004

http://contest.felk.cvut.cz/04prg/solved/index.html

 

 

//Memory Time 
//212K   0MS 

#include<iostream>
using namespace std;

//d=ax+by,其中最大公约数d=gcd(a,n)，x、y为方程系数，返回值为d、x、y
__int64 EXTENDED_EUCLID(__int64 a,__int64 b,__int64& x,__int64& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;  //d=a，x=1,y=0,此时等式d=ax+by成立
    }
    __int64 d=EXTENDED_EUCLID(b,a%b,x,y);
    __int64 xt=x;
    x=y;
    y=xt-a/b*y;  //系数x、y的取值是为满足等式d=ax+by
    return d;
}

int main(void)
{
    __int64 A,B,C,k;
    while(scanf("%I64d %I64d %I64d %I64d",&A,&B,&C,&k))
    {
        if(!A && !B && !C && !k)
            break;

        __int64 a=C;
        __int64 b=B-A;
        __int64 n=(__int64)1<<k;  //2^k
        __int64 x,y;
        __int64 d=EXTENDED_EUCLID(a,n,x,y);  //求a,n的最大公约数d=gcd(a,n)和方程d=ax+by的系数x、y

        if(b%d!=0)  //方程 ax=b(mod n) 无解
            cout<<"FOREVER"<<endl;
        else
        {
            x=(x*(b/d))%n;  //方程ax=b(mod n)的最小解
            x=(x%(n/d)+n/d)%(n/d);  //方程ax=b(mod n)的最整数小解
            printf("%I64d\n",x);
        }
    }
    return 0;
}