面试常考概率题

引自：https://www.cnblogs.com/lvjincheng/p/11361461.html

题目1-10

1. 如何在半径为1的圆中随机选取一点？

2. 一根木棒，截成三截，组成三角形的概率是多少？

3. 抛一个六面的色子，连续抛直到抛到6为止，问期望的抛的次数是多少。

4. 一个木桶里面有M个白球，每分钟从桶中随机取出一个球涂成红色（无论白或红都涂红）再放回，问将桶中球全部涂红的期望时间是多少？

5. 你有一把宝剑。每使用一个宝石，有50%的概率会成功让宝剑升一级，50%的概率会失败。如果宝剑的级数大于等于5的话，那么失败会使得宝剑降1级。如果宝剑的级数小于5的话，失败没有效果。问题是：期望用多少个宝石可以让一把1级的宝剑升到9级？

6. 已知有个rand7()的函数，返回1到7随机自然数，怎样利用这个rand7()构造rand10()，随机1~10。

7. 已知有个randM()的函数，返回1到M随机自然数，怎样利用这个randM()构造randN()，随机1~N。

8. 已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，现在要你构造一个发生器，使得它产生0和1的概率均为1/2。

9. 已知一随机发生器，产生的数字的分布不清楚，现在要你构造一个发生器，使得它产生0和1的概率均为1/2。

10. 已知一随机发生器，产生0的概率是p，产生1的概率是1-p，构造一个发生器，使得它构造1、2、3的概率均为1/3；…。更一般地，构造一个发生器，使得它构造1、2、3、…n的概率均为1/n。

答案

1. 方法一：在x=[−1,1]x=[−1,1]和y=[−1,1]y=[−1,1]围成的正方形中随机取一点，若落在圆内则为所求的点；若不在圆内，则重新随机直到选到了为止。
   方法二：从[0, 2*pi)随机选取一个角度，再在这个方向的半径上随机选取一个点。但半径上的点不能均匀选取，选取的概率要和离圆心的距离成正比，这样才能保证随机点在圆内是均匀分布的。

2. 三条边分别为xx、yy和1−x−y1−x−y，其满足0<x<10<x<1，0<y<10<y<1，0<1−x−y<10<1−x−y<1的条件，然后画图即可得到概率为1/2。

3. 抛一次出现6的概率为$ p = frac{1}{6}，，P(k) = frac{1}{6} ^ {k-1} * frac{5}{6}，满足几何分布，期望为，满足几何分布，期望为E = frac{1}{p} = 6$。

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题目11-20

11. 一个桶里面有白球、黑球各100个，现在按下述规则取球：
    i 、每次从桶里面拿出来两个球；
    ii、如果取出的是两个同色的求，就再放入一个黑球；
    iii、如果取出的是两个异色的求，就再放入一个白球。
    问：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少？

12. 10个人出去玩，集合时间有10分钟，每个人都在该时间内到达，概率均匀分布，彼此独立，那么最后一个人最有可能到达的时间是?

13. 已知随机数生成函数f()，返回0的概率是60%，返回1的概率是40%。根据f()求随机数函数g()，使返回0和1的概率是50%，不能用已有的随机生成库函数。

14. 100个人排队，每个人只能看到自己之前的人的帽子的颜色（假设只有黑白两色），每个人都得猜自己帽子的颜色，只能说一次，说错就死掉，别人可以听到之前的人的答案以及是否死掉。请问用什么策略说死掉的人最少。

15. 54张牌，平均分成三堆，大小王在同一堆的概率？

16. 买饮料，三个瓶盖可以换一瓶，请问要买100瓶饮料，最少需要买多少瓶？

17. 有一个很大很大的输入流，大到没有存储器可以将其存储下来，而且只输入一次，如何从这个输入流中等概率随机取得m个记录。

18. 在一条高速公路上，在30分钟内看到一辆汽车的可能性是0.95，那么在10分钟内看到一辆车的概率是多少?（假设过车的概率是恒定的）

答案

11. 黑球=0，白球=1，那么题目描述的就是数组内部的亦或运算，结果为0，也就是说只剩下一个黑球的概率是100%。

12. 最后一个人在第n分钟到达的概率为：(1/10)×(n/10)9(1/10)×(n/10)9，当n取10的时候概率最大。

13. 生成两个数，01和10的概率是相等的，用这两个直接映射0和1，如果是00或者11就直接丢弃继续实验。

14. 最少能活99个人。
    最后一个人可以看到前面全部的信息，从最后一个人开始，若前面为【奇黑偶白】则报黑（自己有一半的存活概率），若前面【偶黑奇白】则报白（自己有一半的存活概率）；
    对于倒数第2人来说，以最后1个人报黑为例，若看到【奇黑奇白】则自己一定为白也报白，若看到【偶黑偶白】则自己一定为黑也报黑；
    对于倒数第3人来说，以最后1个人报黑倒2报黑为例，若看到【奇黑偶白】则自己一定为白也报白，若看到【偶黑偶白】则自己一定为黑也报黑；如此下去。

15. P(大小王在同一堆)=3∗P(大王在第i堆|小王在第i堆)∗P(小王在第i堆)=3∗17/53∗1/3P(大小王在同一堆)=3∗P(大王在第i堆|小王在第i堆)∗P(小王在第i堆)=3∗17/53∗1/3。

16. 三叉树结构，30+31+...+3n>10030+31+...+3n>100，解得n>4n>4，可见第3层的一部分和第四层后一部分需要自己买，第2层全部以及第3层前一部分都是可以兑换得到。设第四层有x个，则有
    x+x/3+27−x/3=100−(30+...+32)x+x/3+27−x/3=100−(30+...+32)
    解得x=60，所以总共买 x+33−x/3=67x+33−x/3=67。
    还有一个思路：100个人，3人做一组，共33组，余1人，也即100/333, 100%31，3瓶水换一瓶，也即一组需要买两瓶（需要有一个作为启动），所以结论很明显了，100/33*2+1=67

17. 对每个数据计算一次rand[0,1)，维护一个m大小的小根堆，最后把前m大的数据作为记录。

18. 陷阱在于不是30分钟内的前10分钟，而是任意10分钟。设10分钟内看不到车的概率为p，则30分钟内看不到车概率为 p3p3，那么有
    p3=1−0.95p3=1−0.95
    最后求 1−p1−p 即可。答案是63.16%。