证明：(1)我们可知球心所组成的点列$left{ {{x_n}} ight}_{n = 1}^infty $是基本列.事实上，当$m ge n$时，由$x in {B_m} subset {B_n}$得[dleft( {{x_m},{x_n}} ight) le {varepsilon _n}]由于${varepsilon _n} o 0$，则对任给$varepsilon > 0$，存在$N$，使得当$nge N$，有${varepsilon _n}<varepsilon$，于是当$m,nge N$时，有[dleft( {{x_m},{x_n}} ight) < varepsilon ]所以$left{ {{x_n}} ight}_{n = 1}^infty $是基本列
(2)由于空间$X$是完备的，则点列$left{ {{x_n}} ight}_{n = 1}^infty $收敛于$X$中的一点$x$，令$m o infty$，则由距离的连续性知[dleft( {x,{x_n}} ight) le {varepsilon _n}]所以$xin {B_n},n = 1,2, cdots $，即$x in igcaplimits_{n = 1}^infty {{B_n}} $
(3)假设还存在$X$中的点$y in igcaplimits_{n = 1}^infty {{B_n}} $，则[dleft( {y,{x_n}} ight) le {varepsilon _n}]令$n o infty$，则$dleft( {y,x} ight) = lim limits_{n o infty } dleft( {y,{x_n}} ight) = 0$，所以由度量空间的定义知$y=x$，即证