关于实数系基本定理的专题讨论I

$f命题：$设$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，且$a le fleft( a ight),fleft( b ight) < b$，则存在$c in left( {a,b} ight)$，使得$f(c)=c$

方法一

$f命题：$

附录

$f确界原理的本质特征$  

   设数集$E$具有性质$P$，如果$SupE=eta $，由确界的定义知，

对任给$varepsilon  > 0$，存在${x_0} in E$，使得$eta  - varepsilon  < {x_0} le eta $，这样就可以把$E$所具有的性质$P$收缩到$eta $的$varepsilon $邻域内

$f确界原理应用的一般步骤$

   Step 1  为了证明在全区间$[a,b]$上具有性质$P$，构造数集$E = left{ {x in left[ {a,b} ight]left| {left[ {a,x} ight]具有性质P} ight.} ight}$

   Step 2  证明$b$是$E$的上确界，且$b in E$

 

$f闭区间套定理的本质特征$

   如果所有的闭区间$left[ {{a_n},{b_n}} ight]$都具有某种共同的性质$P$，则因为在${x_0}$的任意邻域$Uleft( {{x_0},delta } ight)$中

都含有闭区间$left[ {{a_k},{b_k}} ight]$，所以这个性质$P$可以收缩到点${x_0}$的局部去，或者说可以把全区间$[a,b]$上的一种整体性质$P$收缩到一点${x_0}$的局部去

$f采用二分法构造闭区间套的步骤$

   Step 1  先考虑一个区间$left[ {{a_1},{b_1}} ight]$，使它具有某种性质$P$

   Step 2  然后将$left[ {{a_1},{b_1}} ight]$二等分，证明至少一个子区间里具有性质$P$，记这个子区间为$left[ {{a_2},{b_2}} ight]$

   Step 3  不断重复这一步骤，于是得到一个闭区间套$left{ {left[ {{a_n},{b_n}} ight]} ight}$满足条件：

               $(1)$$left[ {{a_n},{b_n}} ight] supset left[ {{a_{n + 1}},{b_{n + 1}}} ight],n = 1,2, cdots $

               $(2)$$lim limits_{n o infty } left( {{b_n} - {a_n}} ight) = lim limits_{n o infty } frac{{{b_1} - {a_1}}}{{{2^{n - 1}}}} = 0$

               $(3)$每个区间$left[ {{a_n},{b_n}} ight]$都具有性质$P$

 $f有限覆盖定理的本质特征$

   使用有限覆盖定理时，可以把$[a,b]$上每一点邻域所具有的局部性质$P$延拓到全区间$[a,b]$上

$f有限覆盖定理的构造方法$

   Step 1  证明对于$[a,b]$上每一点，都有一个邻域${O_delta }left( x ight)$，且此邻域具有性质$P$

   Step 2  由于这样的邻域构成闭区间$[a,b]$上的一个开覆盖，

则由有限覆盖定理，可以从中选取有限个${O_{{delta _1}}}left( {{x_1}} ight),{O_{{delta _2}}}left( {{x_2}} ight), cdots ,{O_{{delta _k}}}left( {{x_k}} ight)$来覆盖$[a,b]$

   Step 3  利用${O_{{delta _i}}}left( {{x_i}} ight)left( {i = 1,2, cdots ,k} ight)$具有性质$P$，证明闭区间$[a,b]$也具有性质$P$